5 bilet To’plamga tegishlilik tushunchasi. To’plamlarning tengligi. Tа’rif Ikkita to’plam teng

10.1-misol. Berilgan funksiya uchun soxta argumentdir, chunki shart argumentning ixtiyoriy (0 yoki 1) qiymatida bajariladi. Lekin, o‘zgaruvchi funksiyaning muhim argumentidir, chunki shart o‘zgaruvchining barcha (0 va 1) qiymatlarida o‘rinlidir.
Mulohazalar algebrasida o‘rinli bo‘lgan qonun va qoidalariga asoslanib, funksiyaning qiymatini o‘zgartirmasdan, uning argumentlari safiga istalgancha soxta argumentlarni kiritish va bu safdan istalgancha soxta argumentlarni olib tashlash mumkin.
3)
Funksional yopiq sinflar.Mantiq algebrasining   {φ₁,...,φ _n } funksiyalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
1.Ta`rif. Agar mantiq algebrasining istalgan funksiyasini   {φ₁,...,φ _n } sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasi orqali ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda Ф sistema to‘liq funksiyalar sistemasi deb ataladi.
Istalgan funksiyani MKNSh yoki MDNSh ko‘rinishida ifodalash mumkinligidan

{xy, x  y, x}
funksiyalar sistemasining to‘liqligi kelib chiqadi.
{xy, x  y, 1}
funksiyalar sistemasi

ham to‘liq bo‘ladi, chunki istalgan funksiyani Jegalkin ko‘phadi ko‘rinishiga keltirish mumkin.
1- m i s o l . Quyidagilar to‘liq funksiyalar sistemasi ekanligini isbotlaymiz:

a) xy, x ; b)
x  y, x ; d)
xy, x  y, 1;

e) x  y ; f) xy ; g) x  y, x  y, 1 ;

h) x  y  z, xy, 0, 1 ; i)
x  y, x ; j)
x  y, 0 .

1. 
   x  y  x y , ya’ni diz’yunksiya amalini kon’yunksiya va inkor amallari
   

orqali ifodalash mumkin. Demak, {xy, x} funksiyalar sistemasi to‘liqdir;

2. 
   xy  x  y
   

ekanligi ma’lum. Demak, istalgan mantiqiy funksiyani diz’yunksiya va inkor

amallari orqali ifodalasa bo‘ladi. Shuning uchun {x  y, x} funksiyalar sistemasi to‘liqdir;

4. 
   mantiq algebrasining ixtiyoriy funksiyasini yagona Jegalkin ko‘phadi ko‘rinishiga keltirish mumkin bo‘lgani uchun {xy, x  y, 1} funksiyalar sistemasi
   

to‘liqdir.

4. 
   va f) mantiq algebrasidagi istalgan funksiyani
   

ψ ( x, y)  xy

va φ(x, y)  x  y

Sheffer

funksiyalari orqali ifodalash mumkin. Haqiqatan ham,
x  φ(x, x) ,

x  y  x  y  φ(x, y)  φ (φ(x, y),φ(x, y))
va
xy  φ (x, y)  φ(φ (x, x),φ( y, y)

asosiy mantiqiy amallarni Sheffer funksiyasi orqali ifodalash mumkin. Demak, funksiyalar sistemalari to‘liqdir.

{x  y}

va {xy}

g) x  y  xy  x  y
bo‘lgani uchun
x  y (x  y)  xy bo‘ladi.
{xy, x  y, 1}
to‘liq sistema ekanligi

4. 
   bandda isbot qilingan edi, demak, {x  y, x  y, 1} sistema to‘liqdir.
   

Xuddi shunday qolgan h), i) va j) funksiyalar sistemalarining to‘liqligini ham isbot qilish mumkin. Bu ish o‘quvchiga havola qilinadi. ■

1.