5-Laboratoriya mashg’ulot. Bir nomalumli algebraik va transsendent tenglamalarni kesmani ikkiga bo’lish usulida yechish
Download 347.26 Kb. Pdf ko'rish
|
5-Labaratoriya mashgulot 3-kurs
- Bu sahifa navigatsiya:
- Oraliqni teng ikkiga bo’lish usuli.
- Tenglamalarning ildizlarini EHM yordamida ajratish. Tenglamalarni ildizini kesmani teng ikkiga bo‘lish usulida topishni algoritmlash va dasturlash.
- MUSTAQIL ISHLAR UCHUN TOPSHIRIQLAR
|
5-Laboratoriya mashg’ulot. Bir nomalumli algebraik va transsendent tenglamalarni kesmani ikkiga bo’lish usulida yechish. Chekli [a,b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz f(x) funkiya berilgan bo’lib, uning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari shu oraliqda mavjud bo’lsin. Shu bilan birga [a,b] da f’(x) funksiya o’z ishorasini saqlasin. f(x)=0 (1) tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo’lsin va bu yechimni berilgan
aniqlikda topish talab qilingan bo’lsin. Quyida bu yechimni aniqlash uchun bir necha sonli usullar, ularning Paskal algoritmik tilida tuzilgan programmalarni keltiramiz.
ikkita teng [a,x 0 ] va [x 0 ,b] oraliqlarga ajratamiz. Agar
0 bo’lsa, x=x 0
(1) tenglamaning aniqlikdagi taqribiy yechimi bo’ladi. Bu shart bajarilmasa, [a,x
] va [x 0 ,b] oraliqlardan (1) tenglama ildizi joylashganini tanlab olamiz va uni [a 1
1 ] deb belgilaymiz. x 1 =(a 1 +b 1 )/2 nuqta yordamida [a 1 ,b 1 ] oraliqni ikkita teng [a 1 ,x 1 ] va [x 1 ,b 1 ] oraliqlarga ajratamiz.
1 -x 1 bo’lsa, x=x 1 (1) tenglamaning
aniqlikdagi taqribiy yechimi bo’ladi, aks holda [a 1 ,x 1 ] va [x 1 ,b 1 ] oraliqlardan (1) tenglama ildizi joylashganini tanlab olamiz va uni [a 2 ,b 2 ] deb belgilaymiz. Bu oraliq uchun yuqoridagi hisoblashlar ketma-ketligini
i -x i (i=2,3,4,…) shart bajarilguncha davom ettiramiz. Natijada (1) tenglamaning x=x i taqribiy yechimini hosil qilamiz.
4
3 -2x 2 +3x-3 tenglamaning [-2;1] oraliqdagi ildizini =0,01 aniqlikda hisoblang. Yechish. 7- qadamda a 7 =-1,7305 va b 7 =-1,7363 bo’lib,
7 -b 7 =0,01
shart bajariladi. 73 , 1 7334
, 1 2 7 7
a x (javob: =-1,73(
0,01)).
Oraliqni teng ikkiga bo’lish usuliga Paskal tilida tuzilgan dastur matni: program oraliq2; uses crt; {Oraliqni teng ikkiga bo’lish usuli} var a,b,eps,x,fa,fc,c:real; function f(x:real):real; begin f:= { f(x) funksiyasining ko’rinishi } end; begin clrscr; write('a='); read(a); write('b='); read(b); write('eps='); read(eps); fa:=f(a); while abs(b-a)>eps do begin c:=(a+b)/2; fc:=f(c); if fa*fc<=0 then b:=c else begin a:=c; fa:=fc end; end; writeln('x=',c:10:4); end. Tenglamalarning ildizlarini EHM yordamida ajratish. Tenglamalarni ildizini kesmani teng ikkiga bo‘lish usulida topishni algoritmlash va dasturlash. Ishdan maqsad: Tenglamalarning ildizlarini kesmani teng ikkiga bo’lish usulida aniqlash algoritmini va dasturini tuzishni o’rganish.
Amaliyotda ko’pincha f(x)=0 (1.1) kabi tenglamalarning ildizini taqribiy hisoblab topishga to’g’ri keladi. 1.1-teorema . Aytaylik, 1.
f(x) funktsiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega bo‘lsin; 2. f(a)
. f(b)<0, ya’ni f(x) funktsiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo‘lsin; 3.
f’(x) hosila (a,b) intervalda o‘z ishorasini saqlasin. U holda, (1.1) tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘ladi. f(x)=0 tenglama berilgan bo‘lsin. [a,b] kesmada u=f(x) funktsiya 1.1-teoremaning barcha shartlarini qanoatlantirsin. Bu holda, [a,b] kesmani t 0 =(a+b)/2 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz: agar f(t 0 )=0 bo‘lsa, x=t 0 yechim bo‘ladi. f(t 0 ) 0 bo‘lgan holda, agar f(a)f(t 0 )<0 bo‘lsa, 1.1-teoremaga ko‘ra, x=t ildiz [a 1 ,b 1 ]=[a,t
0 ] oraliqda, aks holda [a 1 , b
1 ]=[t
0 , b]
oraliqda yotadi. 1.
x=t 0 aniq yechim bo‘lmagan holda [a 1 ,b 1 ] oraliqni t 1 =(a 1 +b 1 )/2 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz: agar f(t 1 )=0 bo‘lsa, x=t 1 yechim bo‘ladi. f(t 1 ) 0
bo‘lgan holda, agar f(a 1 )f(t 1 )<0 bo‘lsa, 1.1-teoremaga ko‘ra x=t ildiz [a 2 ,b
]=[a 1 , t 1 ] oraliqda, aks holda [a 2 , b
2 ]=[t
1 , b
1 ] oraliqda yotadi. 2. Bu jarayonni takrorlash natijasida biror qadamda ma’lum aniqlikdagi taqribiy ildizni olamiz. Aniq ildiz olinmagan taqdirda, jarayonni takrorlashni cheksiz davom ettirib, {t n } ketma-ketlikni olamiz. Hosil qilingan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti f(x)=0 tenglamaning ildizidan iborat bo‘ladi. Berilgan aniqlikdagi taqribiy ildizni olish uchun jarayonni shart bajarilguncha davom ettirish kifoya bo‘lib, taqribiy ildiz sifatida x= (a
n +b n )/2 ni qabul qilamiz. 1.1-masala. e x -10x -2=0 tenglama yechimi kesmani teng ikkiga bo‘lish usulida e=0,01 aniqlik bilan toping. Yechish. f(x)=e x -10x-2 funktsiya [-1,0] oraliqda 1.1-teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun tenglamaga kesmani teng ikkiga bo‘lish usulini ishlatish mumkin. 1. [-1,0] oraliqni t 0 =(-1+0)/2=-0.5 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. f(t 0 )=e -0.5 + 5 – 2 >0 , f(-1)=8.386>0 , f(0)=-1<0 bo‘lganligi uchun yechim [-0.5, 0] oraliqda yotadi. 2.
bu oraliqni t 1 =(-0.5+0)/2=-0.25 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. f(-1) . f(-0,25)=8,386 . 1,279>0
bo‘lganligi uchun yechim [a 2 , b 2 ]=[-0.25, 0] oraliqda yotadi. Aniqlik |b 2 -a 2 |=0.25>2e etarli bo‘lmagani uchun [-0.25, 0] oraliqni t 2
nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. 3. f(-0.125)=0.132 >0 bo‘lganligi uchun yechim [a 3 ,b
]= [-0.125, 0] oraliqda yotadi. Aniqlik |a 3 -b
|=0.125>2e=0.02 etarli bo‘lmagani uchun [-0.125,0] oraliqni t 3 =(0.125+0)/2= =-0.063 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. 4.f(-0.063)=-0.461<0, f(-0.125)=0.132>0 bo‘lgani uchun yechim [a 4 ,b 4 ]=[-0.125, -0.063] oraliqda yotadi. |a 4 –b 4 |=0.062 >2e=0.02 etarli bo‘lmaganligi uchun [- 1.125,-0.063] oraliqni t 4 = (-0.125 - 0. 063)/2=-0.094 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. 5.f(-0.094)=-1.841<0, f(-0.125)=0.132>0 bo‘lgani uchun yechim [-0.125, -0.094] oraliqda yotadi t 5
|a 5 -b 5 |=0.031>2e=0.02, bo‘lgani uchun yechim [-0.125, -0.1095] oraliqda, f(- 0.1095)=-0.00872<0 t 6 = (-0.125- 0.1095)/2= -0.11725 bundan f(-0.11725)=0.0623, yechim [-0.1173, -0.1095] oraliqda bo‘ladi, bu yerda |-0.1095 – (-0.1173)| = | 0.1173 – 0.1095| = 0.008<2e=0,02
bo‘lgani uchun taqribiy ildiz bo‘ladi. Quyida e x -10x-2=0 tenglamani kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechishning blok-sxemasi va Delphi dasturlash tilida yozilgan dasturi keltirilgan: e x -10x-2=0 tenglamani kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechishning Delphi dasturlash tilida tuzilgan dasturi: unit kesmau; interface uses Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls; type TForm1 = class(TForm) Label1: TLabel; Label2: TLabel; Label3: TLabel; Label4: TLabel; Label5: TLabel; Label6: TLabel; Button1: TButton; Edit2: TEdit; Edit3: TEdit; Edit1: TEdit; Edit4: TEdit; Edit5: TEdit; Edit6: TEdit; procedure Button1Click(Sender: TObject); private { Private declarations } public { Public declarations } end; var
Form1: TForm1; implementation {$R *.dfm} procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var a,b,x,f,f1,f2,E:real; var i:integer; label 1,2; begin
a:=strtofloat(Edit1.Text); b:=strtofloat(Edit2.Text); E:=strtofloat(Edit3.Text); i:=0;
1: i:=i+1;
x:=(a+b)/2; f:=Exp(x)-10*x-2; if F=0 then goto 2 else begin f1:=Exp(a)-10*a-2; f2:=Exp(b)-10*b-2; if (ABS(f2-f1)<2*E) then begin
x:=(a+b)/2; goto 2 end else
begin if (f*f1>0) then a:=x else b:=x; goto 1; end; end;
2: edit4.Text:='Yechim topildi'; edit5.Text:=inttostr(i); edit6.Text:=floattostr(x); end; end.
MUSTAQIL ISHLAR UCHUN TOPSHIRIQLAR Quyidagi tenglamalarni algoritmini va dasturini tuzing: 1. Ildizlarning qisqa atrofini EHM yordamida aniqlang; 2. Aniqlangan oraliqda ildizni ikkiga bo‘lish usuli bilan E=0.0001 aniqlikda taqribiy hisoblang. 1. 1) x-sinx=0.25 2) x 3 -3x 2 +9x-8=0
2 1) tg(0.58x+0.1)=x 2
2) x 3 -6x-8=0 3 1) x-cos(0.378x)=0 2) x3-3x2+6x+3=0 4 1) tg(0.4x+0.4)=x 2
2) x3-0.1x2+0.4x-1.5=0 5. 1) lgx-7/ (2x+6)=0 2) x 3 +x-5=0 6. 1) tg(0.5x+0.2)=x 2
2) x 3 +x-5=0 7. 1) 3x-cosx-1=0 2) x 3 +0.2x
2 +0.5x-1.2=0 8. 1) x+lgx=0.5 2) x 3 +3x+1=0
9. 1)tg(0.5x+0.1)=x 2
2) x 3 +0.2x 2 =0.5x-2=0 10. 1) x3+4sinx=0 2) x 3 -3x
2 +12x-9=0 11. 1) ctg(1.05x)-x 2 =0 2) x 3 -0.2x 2 +0.3x-1.2=0 12. 1) tg(0.4x-0.3)=x 2
2) x 3 -3x 2 +6x-2=0
13. 1)xlgx-1.2=0 2) x 3 -0.1x
2 +0.4x-1.5=0 14. 1) 1.8x 2 -sin10x=0 2) x 3 +3x 2 +6x-1=0
15. 1) ctgx-x/4=0 2) x 3 -0.1x
2 +0.4x-1.2=0 16. 1) tg(0.3x+0.4)=0 2) x 3 +4x-6=0
17. 1) x 2 -20Sinx=0 2) x 3 +0.2x 2 +0.5x+0.8=0 18. 1) ctgx-x/3=0 2) x 3 -3x
2 +12x-12=0 19. 1) tg(0.47x+0.2)=x 2
2) x 3 -0.2x 2 +0.3x+1.2=0 20. 1) x 2 +4sinx=0 2) x 3 -2x+4=0 21. 1) ctgx-x/2=0 2) x 3 -0.2x
2 +0.5x-1.4=0 22. 1) 2x-lgx-7=0 2) x 3 -3x
2 +6x-5=0
23. 1) tg(0.44x+0.3)=x 2
2) x 3 -0.1x 2 +0.4x+1.2=0 24. 1) 3x-cosx-1=0 2) x 3 -0.2x
2 +0.5x-1=0 25. 1) ctgx-x/10=0 2) x 3 +3x
2 +12x+3=0 26. 1) x 2 +4Sinx=0 2) x 3 -0.1x 2 +0.4x+2=0 27. 1) tg(0.36x+0.4)=x 2
2) x 3 -0.2x 2 +0.4x-1.4=0 28. 1) x+lgx=0.5 2) x 3 +0.4x
2 +0.6x-1.6=0 29. 1) ctgx-x/5=0 2) x 3 +x-3=0
30. 1) 2lgx-x/2+1=0 2) x 3 -.2x
2 +0.5x+1.4=0
Nazorat savollari: 1. Chiziqsiz yoki transendent tenglama tushunchasi. 2. Chiziqsiz tenglama yechimining mavjudlik sharti. 3. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usuli va uning algoritmi. 4. Yechim yotgan Kesmani aniqlash. 5. Boshlang‘ich shartni tanlash usulini tushuntiring. 6. Iteratsiya usulining yaqinlashish shartini ayting. 7. Iteratsiya usulida boshlang‘ich shartni tanlash usulini tushuntiring. 8. Kesmani ikkiga bo‘lish usuli va uning yaqinlashish shartini ayting.
9. Tenglamalarni taqribiy hisoblashda ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) shartlari. 10. Ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) usulida boshlang‘ich yaqinlashish qiymatini tanlash qoidasi. 10. Kesmani ikkiga bo‘lish usuli va uni qo‘llash haqidagi shartlar. Download 347.26 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|