5-Ma’ruza: Chiziqsiz tenglamalar sistemasini taqribiy yechish Reja

Tenglamalar sistemasi uchun iterasiya metodi

Iterasiya metodi bilan

(4.1)
tenglamalar sistemasini yechish masalasiga o’tamiz. Buning uchun avval (4.1) sistemani biror usul bilan quyidagi kanonik shaklga keltirib olamiz:
(4.2)
Faraz qilaylik, dastlabki yaqinlashish topilgan bo’lsin, u holda keyingi yaqinlashishlar quyidagicha topiladi:
(4.3)
Bu iterasion jarayon yaqinlashishining yetarli shartlarini aniqlash uchun qisqartirib aks ettirish prinsipini qullaymiz. Shu maqsadda p o’lchovli vektorlar fazosi da vektor va (4.2) sistemaning o’ng tomonidagi funksiyalarning qiymatlaridan tuzilgan vektorni olib operatorni aniqlaymiz. Bu operator ni ga yoki ning biror qismiga akslantiradi. Bu operator yordamida (4.2) sistema
, (4.4)
(4.3) iterasion jarayon esa
(4.5)
ko’rinishda yoziladi. Endi (4.4) tenglamaga 1-teoremani qo’llash uchun teoremaning (4.11) shartida qatnashadigan ni lar orqali ifodalash kerak. Bunday ifoda masofaga bog’liqdir. Biz yuqorida fazoda uch xil masofa tushunchasini kiritgan edik. Har bir masofada ning ifodasini topamiz.
1. t masofada: shartdagi ixtiyoriy ikkita va vektor olib va funksiyalar bu sharda uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb faraz qilib, bu nuqtalar tasvirlarining va koordinatalarini ko’ramiz:

Bu yerda hosilaning kiymati va nuqtalarni birlashtiradigan to’g’ri chiziqning nuqtasida hisoblangan. Bu nuqta x, u va ga bog’liqdir. Yuqoridagi baho x, u va ga bog’liq bo’lmasligi uchun
ni
ga almashtiramiz, bu yerda x bo’yicha maksimum shardagi eng katta qiymatni bildiradi. Natijada biz

ga ega bo’lamiz. Bundan ko’rinadiki, 1-teoremaning (4.11) shartidagi sifatida
(4.6)
ni olishmiz mumkin.
II. masofada. Yuqoridagiga o’xshash ishlarni sharda bajarib quyidagini hosil qilamiz:
.
Bundan esa

kelib chiqadi.
III. masofada. Qaralayotgan shar Yevklid fazosidagi

shardan iboratdir. Bu shardan ixtiyoriy ikkita x va u nuqtalarni olib quyidagilarni hosil qilamiz:

Shunday qilib, uchala masofada ham ning ifodasini topdik. Endi 1-teoremadan foydalanib, iterasiya jarayoni yakinlashishining yetarli shartini berish mumkin. Biz buni faqat t masofa uchun ta’riflaymiz, qolgan ikkita masofa uchun teoremani ta’riflashni o’quvchilarga havola qilamiz.
2- teorema. Faraz qilaylik:
1) funksiyalar
(4.7)
sohada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin;
2) bu sohada
(4.8)
tengsizliklarni qanoatlantirsin;
3) dastlabki yaqinlashish uchun

shartlar bajarilsin. U holda (4.2) tenglamalar sistemasi (4.7) sohada yagona yechimga ega bo’lib, (4.3) tengliklar bilan aniqlanadigan ketma-ket yaqinlashishlar bu yechimga intiladi va intilish tezligi

tengsizliklar bilan baholanadi.
Mustaqil ishlash uchun savollar

1. 
   Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi.
   
2. 
   Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi.
   
3. 
   Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi.
   
4. 
   Qisqartirib aks ettirish prinsipi.
   
5. 
   Sistema uchun usulining yaqinlashishining yetarli sharti.
   
6. 
   Qisqartirib aks ettirish prinsipiga asoslangan teoremalar.