5-Ma’ruza: Chiziqsiz tenglamalar sistemasini taqribiy yechish Reja

_{5-Ma’ruza: Chiziqsiz tenglamalar sistemasini taqribiy yechish}
Reja:

1. 
   Chiziqlimas tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi.
   
2. 
   Metrik fazo haqida tushuncha.
   
3. 
   Qisqartirib aks ettirish prinsipi.
   
4. 
   Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish.
   

Tayanch iboralar: metrik fazo tushunchasi, kubik, oktaedrik va sferik masofalar, yopiq shar, qisqartirib aks ettirish tushunchasi.

Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi. Bu yerda ta noma’lumli ta

(6.6)
tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton metodini ko’rib chiqamiz. Yozuvni qisqaroq qilish maqsadida orqali vektorni va orqali

vektor-funksiyani belgilaymiz. U holda, (6.6) sistemani bitta

vektor-tenglama shaklida yozish mumkin. (6.6) sistemasini yechish uchun Nyuton metodi, tabiiyki bitta sonli tenglama uchun yuqorida ko’rib o’tilgan metodning umumlashganidir. Yuqoridagidek bu yerda ham metodning asosiy g’oyasi chiziqli bo’lmagan (6.6) sistemani ketma-ket chiziqli sistemaga keltirishdan iboratdir. Agar aniq yechim Bilan taqribiy yechim orasidagi xato yetarlicha kichik bo’lsa, ajratib olingan qism tenglamalar sistemasining bosh qismi bo’ladi.
Faraz qilaylik, bizga (6.6) sistemaning taqribiy yechimi ma’lum bo’lsin, oraqali vektor xatoni belgilaymiz. (6.6) sistemada o’rniga ni qo’yib, hosil bo’lgan sistemaning chap tomonini larning darajalariga nisbatan Teylor qatoriga yoyib, ga nisbatan chiziqli qismini saqlab, quyidagi taqribiy sistemaga ega bo’lamiz:
(6.7)
Bu sistemani yechib, xatoning taqribiy qiymati ni topamiz. ni ga qo’shib, navbatdagi yaqinlashish vektorini hosil qilamiz:
.
O’z navbatida ni yaxshilashimiz mumkin, buning uchun o’rniga ni qo’yib, (6.7) ko’rinishdagi sistemani tuzish kerak. Shunday qilib, agar (6.7) ko’rinishdagi sistemalar yechimga ega bo’lsa, biz ketma-ket yaqinlashishlar vektorlarini topamiz.
Qulaylik uchun Yakobi matrisasini kiritamiz:
(6.8)
Bu matrisa yordamida (40) sistemani quyidagi bitta vektor-sistema shaklida yozishimiz mumkin:
.
Faraz qilaylik, nuqtada maxsusmas matrisa bo’lsin. Determinant o’z elementlarining uzluksiz funksiyalari bo’lganligi uchun nuqtaning biror atrofida (6.7) maxsusmas matrisa bo’lib, uning teskarisi mavjud bo’ladi.
Faraz qilaylik, , u vaqtda (6.8) ning har ikkala tomonini ga ko’paytirib,

yoki

ni hosil qilamiz. Agar lar atrofida yotsa, u holda ni
(6.9)
tenglikdan topamiz. Bu ketma-ket yaqinlashishlarni topish uchun Nyuton qoidasidir. Bu qoidaning amalga oshishi uchun lar ning aniqlanish sohasida yotishi va matrisalar maxsusmas bo’lishi kerak.
Biz hozir L.V.Kantarovichning (6.9) Nyuton jarayonining yaqinlashishi haqidagi teoremasini isbotsiz keltiramiz.
6-teorema. Agar vektor-funksiya va dastlabki yaqinlashish vektori quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:
1) nuqtada Yakobi matrisasining determinanti noldan farqli va elementning algebraik to’ldiruvchisi bo’lib va

baho o’rinli bo’lsa;
2)
3) ning

atrofidagi barcha nuqtalar uchun

tengsizliklar bajarilsa;
4) miqdorlar

shartni qanoatlantirsa, u holda nuqtaning

atrofida (6.6) sistema yagona yechimga ega bo’lib, (6.9) bilan aniqlangan Nyuton ketma-ketligi yaqinlashadi va shu bilan birga, yaqinlashish tezligi

tengsizlik bilan baholanadi.
Shunga o’xshash teoremani Nyutonning modifikasiyalangan metodi uchun ta’riflash va isbot qilish mumkin.
Shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki, (6.7) sistemada tenglamalar soni ikkita bo’lganda bu sistemani determinatlar yordamida yechish kerak. Tenglamaning soni ikkitadan ko’p bo’lsa, bunday sistemalarni keyingi bobda keltiriladigan metodlarning birortasi bilan yechish ma’quldir. Agar bizga ikkita

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsa, u hoda (6.9) qoida quyidagicha yoziladi:

Misol. Quyidagi

sistemaning ildizi aniqlik bilan topilsin. Bu funksiyalarning grafiklarini chizib ko’rsatish mumkinki, va mos ravishda va oraliqda yotadi. Shuning uchun ham va deb olishimiz mumkin. Berilgan funksiyalarning hosilalari quyidagilardan iborat:
.
Hisoblashlar natijalarini keltiramiz:



Demak, va .