Mavzu: Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari haqida umumiy tasavvur. Berilgan chiziqli bolmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usulida taqribiy yechish. Ushbu usulda yechim topishni dasturlash. Reja

TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI

UNIVERSITETI

FARG’ONA FILIALI

“Kompyuter injiniringi” FAKULTETI

810-22 guruh talabasi

ERGASHEVA NILUFARNING

Chiziqli algebra fanidan tayyorlagan

Mustaqil ishi

Tekshirdi: Shokirov A

Mavzu: Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari haqida umumiy tasavvur. Berilgan chiziqli bolmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usulida taqribiy yechish. Ushbu usulda yechim topishni dasturlash.

Reja:
1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish 2. Nyuton usulida taqribiy yechish
3. Maple dasturida yechish
1. Tenglamani yechishning taqribiy (iteratsion) usullari va iteratsion jarayon tushunchalari. Tenglamani yechish uchun qo‘llaniladigan taqribiy (iteratsion) usullar quyidagilar: kesmani ikkiga bo‘lish usuli (dixotomiya usuli); proporsional bo‘laklar usuli (vatarlar usuli); urinmalar usuli (Nyuton usuli); oddiy iteratsiya usuli; kesuvchi chiziqlar usuli; kombinatsiyali usul (bir necha usulning uyg‘un birikmasidan tuzilgan usul); kesimlar usuli (chiziqli interpolyatsiya qoidasi); Steffensen usuli (EytkenSteffensen usuli) va hokazo. Dastlabki f(x) = 0 tenglamani (x) = x + g(x)·f(x) almashtirish orqali unga ekvivalent bo‘lgan ushbu x = (x) tenglamaga keltiramiz, bunda g(x) – ishorasini o‘zgartirmaydigan ixtiyoriy uzluksiz funksiya. Iteratsion usullarda yechimning dastlabki x0 – ixtiyoriy yaqinlashishi olinadi va u ketma-ket aniqlashtirib boriladi.
Natijada yechimning x0, x1,..., xn,.. ketma-ketligi hosil qilinadi. Tenglamani yechishning iteratsion 6 usuliga ko‘ra uning ildiziga yaqinlashuvchi {xn} ketma-ketlik lim   0  x x n n tenglikning bajarilishidan chiqariladi. Agar bunda xn+1 ni hisoblash uchun undan oldin hisoblangan bitta xn yaqinlashshdan foydalanilsa, ya’ni xn+1 = n(xn), u holda bu usul bir nuqtali (bir qadamli) yoki oddiy iteratsiya usuli, aks holda esa, ya’ni oldin hisoblangan birnechta yaqinlashishdan xn+1 = n(xn, xn-1, xn-2,…) kabi foydalanilsa, u holda bu usul ko‘p nuqtali (ko‘p qadamli) iteratsiya usuli deb ataladi. Agar bunda n funksiya n dan bog‘liq bo‘lmasa, jarayon statsionar, aks holda esa nostatsionar deb ataladi. Masalan, oddiy iteratsiya usuli statsionar va bir qadamli usul bo‘lib, birinchi tartibli iteratsion jarayonni ifodalaydi.
2. Nyuton usuli esa statsionar va bir qadamli bo‘lib, ikkinchi tartibli iteratsion jarayonni ifodalaydi. Agarda bunda {xn} ketma-ketlik n∞ bo‘lganda aniq x yechimga bir tomonlama (chapdan yoki o‘ngdan yaqinlashsa – bir tomonlama usul) yoki ikki tomonlama (har ikkala tarafidan yaqinlashsa – ikki tomonlama usul) intilsa, iterasiya jarayoni yaqinlashadi deyiladi. Faraz qilaylik,  - ildizni topish talab qilinayotgan absolyut aniqlik bo‘lsin. Hisoblash jarayonining tugallash kriteriyasi: hisoblash jarayoni ikki tomonlama yaqinlashishida xn+1 – xn < ε shart yoki bir tomonlama yaqinlashishida f(xn+1) < ε va xn+1 – xn < ε shartlar bajarilgunga qadar davom ettiriladi. Shuni ta’kidlaymizki, bir tomonlama usullar qo‘llanilayotganda ko‘proq nisbiy aniqlikdan foydalaniladi.
Nyuton usuli (urinmalar usuli yoki chiziqlilashtirish usuli) Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning eng samarali usuli bu Nyuton usulidir. Bu usulning g‘oyasi asosida tadqiq qilinayotgan f(x) funksiyani undanda soddaroq bo‘lgan funksiyaga, ya’ni uni urinmaga almashtirishdan iborat. Geometrik nuqtai nazardan, dastlab x0 nuqta orqali f(x) funksiyaning egri chiziqli grafigiga urinma o‘tkaziladi va uning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasining absissasi topiladi . (f(x) funksiyaning egri chiziqli grafigiga M0(x0, f(x0)) nuqtasi orqali o‘tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi: