5-ma’ruza Ikki vektorning vektor ko‘paytmasi, uning xossalari. Vektor ko‘paytmaning geometrik ma’nosi. Ikki vektorning kollinearlik sharti. Uchta vektorning aralash ko‘paytmasi, uning xossalari, geometrik ma’nosi

Vektorlarning aralash ko‘paytmasi
Endi uchta vektor berilgan bo‘lsin. vektor bilan vektorning skalyar ko‘paytmasini ko‘raylik: . Bu ifoda vektorlarning aralash ko‘paytmasi deyiladi.


Agar , va bo‘lsa, ta’riflarga ko‘ra:

Ikkinchi tomondan , bu yerda  burchak – va vektorlar orasidagi burchak,  esa – vektorning vektor bilan hosil qilgan burchagi, S soni va vektorlarga qurilgan parallelogramm yuzasi, – vektorlarga qurilgan parallelepipedning hajmi bo‘lib, .
Bir tekislikda yotuvchi vektorlar komplanar vektorlar deyiladi. Ravshanki, komplanar vektorlar uchun parallelipiped hajmi V nolga teng. Demak, shart uchta vektorning komplanarlik sharti ekan.
Ushbu tenglikni tekshirishni o‘quvchiga havola qilamiz.
Aralash ko‘paytma quyidagi xossalarga ega.
Agarda vektorlar o‘zaro komplanar bo‘lsa, u holda ularning aralash ko‘paytmasi nolga teng va aksincha.
Aralash ko‘paytmatagi ikki vektorning o‘rnini almastirishdan aralash ko‘paytmaning ishorasi teskariga o‘zgaradi, absolyut qiymati bo‘lsa o‘zgarmaydi, ya’ni
.
Aralash ko‘paytmatagi ko‘payushilarni siklli o‘rin almastirishdan aralash ko‘paytmaning ma’nosi o‘zgarmaydi:

Berilgan vektorlarning bittasini  haqiqiy soniga ko‘paytirishdan ularning aralash ko‘paytmasi shu  soniga ko‘payadi, ya’ni

Vektorlarning aralash ko‘paytmasi har bir ko‘paytuvchiga nisbatan distributivlik xossaga ega:

Endi aralash ko‘paytmaning geometrik ma‘nosini qarab chiqaylik:
Berilgan nokomplanar (chiziqli erkli) vektorlar musbat uchlikni tashkil etsa, ularning aralash ko‘paytmasi ularga qurilgan parallelipipedning hajmiga, aksincha bo‘lsa hajmning manfiy belgi bilan olinganiga teng bo‘ladi.
Endi uchlarining koordinatalari boyicha tetraedrning hajmini hisoblash formulasini keltirib chiqaraylik.

nuqtalar tetraedrning koordinatalari bo‘lsin. U holda

Tetraedrning hajmi tetraedrning bir uchidan uchta qirrasiga qurilgan parallepiped hajmining qismiga teng bo‘lgani uchun, shuningdek
(*)
(*) formula biz izlagan tetraedrning hajmini hisoblash formulasi bo‘lib topiladi.
Misol. , , vektorlarga qurilgan tetraedr berilgan. Quyidagilar topilsin a) tetraedrning hajmi, b) ABC yon sirtining yuzasi, c) D uchidan tushirilgan balandlik, d) AB va BC qirralari orasidagi burchak kosinusi , e) ABC va ADC yo‘qlari orasidagi burchak kosinusi.
Yechilishi: a) (*) formuladan

b) Endi uchburchak yuzini topamiz:
.
c) tetraedrning hajmi asosining yuzasi bilan asosga tushirilgan balandligiga ko‘paytmasining uchdan biriga teng:
.
a), b) larni hisobqa olsak, . Bu holdan .
d) AB va BC qirralari orasidagi burchak kosinusi vektorlar orasidagi burchak kosinusiga teng bo‘lgani uchun:

Nazorat sаvоllаri.

1. 
   Vektorlarning vektor ko‘paytmasini ayting.
   
2. 
   Vektorlarning aralash ko‘paytmasni ta’riflang.
   
3. 
   Vektor va aralash ko‘paytmaning qanday geometrik ma’nolari bor?