5-mavzu. Aniq integral reja

1-ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, tengsizlik kesmaning diametri bo‘lgan istalgan bo‘linishida belgilangan nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmagan holda bajarilsa, soniga Riman integral yig‘indisining limiti deyiladi deb yoziladi.
2-ta’rif. Agar (4) Riman integral yig‘indisi da chekli limitga ega bo‘lsa, u holda bu limitga kesmada funksiyadan olingan aniq (bir karrali) integral (Riman integrali) deyiladi va kabi belgilanadi.
Shunday qilib, ta’rifga ko‘ra
(14.5)
bu yerda - integral ostidagi funksiya, - integrallash o‘zgaruvchisi,
- integralning quyi va yuqori chegarasi, integrallash sohasi (kesmasi) deyiladi.
kesmada anig integral mavjud bo‘lsa, funksiya shu kesmada integrallanuvchi (Riman bo‘yicha integrallanuvchi) deyiladi.
Izoh. Oliy matematika kursida bosha aniq integrallar qaralmagani sababli
bundan keyin «Riman integrali» va «Riman bo‘yicha integrallanuvchi» iboralarini
mos ravishda «integral» va «integrallanuvchi» deb yozamiz.
Keltirilgan ta’riflarda bo‘lsin deb faraz qilindi. Aniq integral tushunchasini va bo‘lgan hollar uchun umumlashtiramiz.
bo‘lganida 2-ta’rifga ko‘ra
(14.6)
bo‘ladi. (14.6) tenglik integrаllash chegаrаlаri аlmаshtirilganida aniq integralning ishоrаsi teskarisiga o‘zgаrishini bildiradi.
2-ta’rifga ko‘ra bo‘lganida
(14.7)
bo‘ladi. Bu tenglik bir xil chegаrаlаri integrallashda aniq integralning nolga teng bo‘lishini bildiradi.
(14.4) integral yig‘indi berilgan funksiyaning argumenti qanday harf bilan belgilanishiga bog‘liq bo‘lmagani sababli, uning limiti va shuningdek aniq integral integrallash o‘zgaruvchisining belgilanishiga bog‘liq bo‘lmaydi:

Misol
integralni uning ta’rifidan foydalanib hisoblaymiz. kesmada funksiya uzluksiz. kesmani nuqtalar bilan uzunliklari bo‘lgan ta bo‘lakka bo‘lamiz. Bunda nuqta sifatida qismiy kesmalarning oxirlarini olamiz:

Tegishli integral yig’indini tuzamiz:

Bundan

Demak, ta’rifga ko‘ra

Endi nuqta sifatida qismiy kesmalarning boshlarini olamiz:

Bundan

yoki

Demak, berilgan integralning qiymati kesmani bo‘lish usuliga va bu
kesmada nuqtani tanlash usuliga bog‘liq emas va
Funksiya integrallanuvchi bo‘ladigan shartlarni keltiramiz.