5-Mavzu: Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik

Topshiriq. Tekisliklar umumiy tenglamalari bilan berilganda (7), (8), (9) ifodalarning shaklini yozib ko’rsating.
V. Ax+By+Cz+D=0 (Q) tekislik berilgan va
(L) to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Ular orasidagi burchak quyidagi formula bilan topilad:.
(10)
Agar bunda bo’lsa,
(11)
Bu to’g’ri chiziq bilan tekislikning parallelik sharti desak bo’ladi.
Aksincha,

shart bajarilsa, to’gri chiziq bilan tekislik o’zaro perpendikulyar bo’ladi.
VI. Ikki tekislikning kesishuvi to’g’ri chiziq bo’lganligidan

sistema tekisliklarning kesishuv to’g’ri chizig’i tenglamasi bo’ladi. Oxirgi sistemada x va y larni z orqali ifodalasak, oqibatda

tenglama kelib chiqadi. Bu ikki tekislik kesishuvidan hosil bo’lgan chiziqning kanonik tenglamasi bo’ladi.
VII. Har qanday uch tekislik bitta nuqtada kesishadi. U nuqta tekisliklarning juft-juft kesishuv chiziqlari kesishmasida boladi. Bunday koordinatalarini topishni qiziquvchi talabalarning o’zlariga havola qilamiz.(agar eslay olsangiz , uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasining yechimini izlashdir.

F (x,y,z)=0 tenglama bilan ifodalangan yuza sirt deyiladi. Misol, toshning sirti, tarvuzning sirti, yer sharining sirti, tekislik (yer)ning sirti…. kabi tushunchalarni ko’z oldimizga keltiramiz. Darvoqe, biz faqat ma`lum bir Oxyz koordinatalar sistemasi olib, unga nisbatan shu sirtning (x,y,z ) nuqtalari joylashuvini aniqlaganimizdan keyingina, qurilayotgan sirtning tenglamasini F (x,y,z )= 0 ko’rinishda ifodalaymiz.

(x,y,z) –esa bu sirtning ixtiyoriy nuqtasi bo’lib, (1) tenglama esa, sirt nuqtalarining joylashuv niyatidir. Fanda, texnikada , hayotda va ishlab chiqarishdagi sirtlar orasida ikkinchi tartibli sirtlar katta ahamiyat kasb etadi.
Ikkinchi tartibli sirtlar asosan quyidagi tenglama bilan ifodalanadi:

Bu tenglama tartibi o’zgarmasligi, ya`ni, haqiqatdan ham o’z nomiga yarasha sirtni berishi uchun -lardan kamida biri noldan farqli bo’lishi shart. Bu shartni quyidagicha ham yozish mumkin:
(3)
Sirt haqida shaklan yaxshi tasavvur hosil qilish uchun uni parallel kesimlar orqali o’rganishadi.
Masalan, (2) sirtni xOy tekislik bilan kessak, kesimda ikkinchi tartibli tekis egri chiziq hosil bo’ladi va quyidagicha tenglama bilan ifodalanad:.

Agar, bu parabolani bersa ,sirt nomida «parabolik» so’zi ishtrok etadi va h.k. Keling, endi ikkinchi tartibli sirtlarning sodda turlari bilan tanishib chiqaylik.

a) Sferik sirt. (4)
Bu markazi C(a,b,c) nuqtada va radiusi R bo’lgan sferadir. Qavslar ochilib chiqilganda tenglama quyidagi shaklni oladi:
.
Bunda .
Umumiy holda

shaklda yozilib, uni to’la kvadratlarga
keltirib,(4) shaklga solinadi.