5-Mavzu. Lobachevskiy geometriyasi elementlari. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqlar, ekvidistant va orisikl chiziqlar

Parallel toʻgʻri chiziqlarning xossalari.

Parallellarga Lobachevskiy boʻyicha berilgan ta’rifda A nuqta maxsus rolni oʻynagan edi. Parallelizm ta’rifi, birinchidan, berilgan yoʻnalishga, ikkinchidan, berilgan A nuqtaga nisbatan edi. Ammo a toʻgri chiziqqa berilgan yoʻnalishda parallel boʻlgan b toʻgʻri chiziqdagi A nuqtaning alohida ahamiyatga ega emasligini isbotlash mumkin.
T e o r e m a . Agar b toʻgri chizq a toʻgʻri chiziqqa ma’lum yoʻnalishda va ma’lum A nuqtaga nisbatan parallel boʻlsa, b toʻgʻri chizq a toʻgʻri chiziqqa oʻsha yoʻnalishda oʻzining istagan B nuqtasiga nisbatan ham paralleldir. (6-chizma)
6-chizma
Bu teoremani isbotlashdan oldin, masalaning qoʻyilishiga toʻxtalib oʻtaylik. Agar b toʻgʻri chiziq a toʻgʻri chiziqqa A nuqtaga nisbatan a dagi ma’lum yoʻnalishda parallel boʻlsa, demak b toʻgʻri chiziq a bilan kesishmaydi va b bilan kesishmaydigan hamma toʻgʻri chiziqlar uchun chegaraviy toʻgʻri chiziqdir. a bilan kesishmaydigan toʻgri chiziqlar uchun ikkinchi chegaraviy toʻgʻri chiziq, a ga qarama-qarshi yoʻnalishda parallel boʻlgan b toʻgʻri chiziqdan iboratdir. bAb' burchak va unga vertikal boʻlgan burchakdagi har bir p toʻgʻri chiziq a bilan kesishadi. Ikkinchi juft vertikal burchaklardagi har bir q toʻgʻri chiziq esa a bilan kesishmaydi.
Agar B nuqtani b toʻgʻri chiziqda olsak, B nuqtadan oʻtgan toʻgʻri chiziqlar dastasi orasida, a toʻgʻri chiziq bilan kesishadigan hamda kesishmaydiganlari mavjuddir. a bilan kesishmaydiganlar orasida b toʻgʻri chiziq ham bor. Lekin, b toʻgri chizqning a bilan kesishadigan kesishmaydiganlarni ajratib turuchi chegaraviy boʻlish-boʻlmasligini biz hali bilmaymiz. b toʻgʻri chiziq a toʻgʻri chiziqqa B nuqtaga nisbatan oʻtaparallel boʻla olmaydimi? Ana shu holning yuz bermasligi toʻgʻrisida teoremada tasdiq qilinadi. b toʻgʻri chiziqning a ga B nuqtaga nisbatan ham berilgan yoʻnalishda parallelligini isbotlash uchun ikki narsani isbotlash
kerak: birinchidan, b toʻgʻri chiziq a bilan kesishmaydi (bu esa ma’lum, chunki b toʻgʻri chiziq a ga A nuqtaga nisbatan paralleldir), ikkinchidan, bBD burchakdagi har bir r toʻgʻri chiziq (6-chizma) a bilan kesishadi. Isbotni ikki qismga boʻlamiz.
b toʻgʻri chiziqning B nuqtasi, A nuqtadan oʻng tomonda, ya’ni parallellik tomonida yotadi (7-chizma). bBD burchakdagi istalgan r toʻgʻri chiziqning a bilan kesishishini isbotlash kerak. r toʻgʻri chiziqda shunday P nuqta olamizki, u a bilan b orasida yotadigan boʻlsin va bu P nuqtani A bilan tutashtiramiz; ularni tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq p boʻlsin. b toʻgʻri chiziqning bAD burchak ichiga kirgani va b ning a toʻgʻri chiziqqa A nuqtaga nisbatan parallelligi sababli, p toʻgʻri chiziq a bilan S nuqtada kesishadi.

chizma 8-chizma
Pash postulatini ADS uchburchak va r toʻgʻri chiziqqa nisbatan qoʻllaymiz. r toʻgʻri chiziq uchburchakning AS tomoni bilan A va S orasidagi P nuqtada kesishadi va AD tomoni bilan kesishmaydi, chunki r toʻgʻri chiziq, AD kesma nuqtalarini oʻz ichiga olmagan bBD burchakdagi toʻgʻri chiziqdir. Demak, r toʻgʻri chiziq AD tomon bilan A va D orasida kesisha olmaydi. Shu sababli, ADS uchburchakning bitta ham uchidan oʻtmaydigan p toʻgʻri chiziq, bu uchburchakning DS tomoni bilan D va S orasida yotuvchi nuqtada kesishadi, ya’ni u a bilan kesishadi.
b toʻgʻri chiziqning B nuqtasi A nuqtadan chap tomonda, ya’ni parallelizm yoʻnalishiga qarama-qarshi tomonda yotadi. bBS burchak ichidagi istalgan r toʻgʻri chiziqning a bilan kesishishini isbotlash kerak. Isbotlash uchun r toʻgʻri chiziqda shunday T nuqta olamizki, u bBS burchakka vertikal boʻlgan burchakda yotsin va soʻngra T ni A bilan tutashtiramiz, T
ni A bilan tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq p boʻlsin (8-chizma). p toʻgʻri chiziq bAS burchak ichiga kirib, a toʻgʻri chiziq bilan S nuqtada kesishadi, chunki b toʻgʻri chiziq A nuqtaga nisbatan a ga paralleldir. ACS uchburchak va r toʻgʻri chiziqni olaylik. r toʻgʻri chiziq AS tomon bilan A va C orasida kesishadi, chunki r toʻgʻri chiziq ABC burchakka qarashlidir; r toʻgʻri chiziq