57-Mavzu: Uch nomalumli tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechish Mashg’ulot texnologiyasi modeli

1-2-ilova



Mavzu: Uch nomalumli tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechish
.
.
Reja: Uch nomalumli tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechish.
.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss

usuli bilan yechish.

Quyidagi n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

(1)

a_ij (i=1,...,m; j=1,...,n) koeffisiyentdagi birinchi indeks tenglama nomerini,ikkinchi indeks esa noma’lum nomerini bildiradi.

1-ta’rif. Agar (1) sistema yechimga ega bo’lsa, unga birgalikda bo’lgan sistema, agar yechimga ega bo’lmasa birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi.
2-ta’rif. Agar birgalikda bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lsa, uni aniq sistema deyiladi. Agar cheksiz ko’p yechimga ega bo’lsa, uni aniqmas sistema deyiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasida qo’yidagi elementar almashtirishlarni bajarish mumkin.

1. Istalgan ikkita tenglamani o’rinlarini almashtirish mumkin.

2. Tenglamalarning ixtiyoriy bittasining ikkala tomonini noldan farqli istalgan songa ko’paytirish mumkin.
3. Ixtiyoriy bitta tenglamasining xar ikkala tomonini biror xaqiqiy songa ko’paytirib, boshqa biror tenglamaga qo’shish mumkin.
Bu elemantar almashtirishlarni bajarganimizda xosil bo’lgan sistema berilgan sistemaga teng kuchli bo’ladi.
Endi (1) sistemani Gauss usuli bilan yechishga o’taylik. Bu usulning moxiyati shundan iboratki noma’lumlarni ketma-ket yo’qotib ,berilgan sistemaga teng kuchli bo’lgan uchburchak (yoki pog’onasimon) ko’rinishdagi sistemaga keltiriladi. a₁₁≠0 deb (1) ning birinchi tenglamasini a₁₁ ga bo’lib, so’ngra uni -a₂₁ ga ko’paytirib, ikkinchi tenglamaga qo’shamiz.
Keyin -a₃₁ ga ko’paytirib, uchinchi tenglamaga qo’shamiz va shu jarayonni davom ettiraversak natijada shunday sistema xosil bo’ladiki, u sistemaning faqat birinchi tenglamasida x₁ qatnashib qolganlarida qatnashmaydi.
Shu jarayonni (1) sistemaning qolgan tenglamalariga ketma-ket tatbiq etsak, qo’yidagi ikkita sistemaning bittasiga kelamiz.


(2) yoki (3)
(2) sistemaga uchburchak sistema , (3) ga esa pog’onali sistema deyiladi.
Agar (1) sistema (2) ko’rinishdagi sistemaga keltirilsa, u xolda (1)sistema birgalikda bo’lgan sistema bo’lib yechimi yagona bo’ladi. Agar(1)sistema (3) ko’rinishdagi sistemaga keltirilsa u xolda (1) sistema birgalikda bo’lib, yechimi cheksiz ko’p bo’ladi.
Misol. 1)

Yechish. a₁₁=2≠0 bo’lgani uchun birinchi tenglamani 2 ga bo’lamiz.

Bu sistemaning 1-tenglamasini (-3) ga ko’paytirib 2-tenglamaga, (-5)ga ko’paytirib 3-tenglamaga qo’shsak

Endi bo’lgani uchun 2-tenglamani ga bo’lib , so’ngra uni ga ko’paytirib 3- tenglamadan ayirsak:
 x₁=-4;x₂=3;x₃=-1.
2)