6- ma’ruza 6-mavzu: To’liq oqim uchun Bernulli tenglamasi. Bernulli tenglamasining geometrik va energetik mohiyati. Bernulli tenglamasining texnik masalalarga tadbiqi

6- MA’RUZA
6-mavzu: To’liq oqim uchun Bernulli tenglamasi. Bernulli tenglamasining geometrik va energetik mohiyati. Bernulli tenglamasining texnik masalalarga tadbiqi
Reja:

1. 
   Bernulli tenglamasining fizik ma’nosi.
   
2. 
   Bernulli tenglamasining grafik ko’rinishidagi tasviri.
   
3. 
   Suyuqlik oqimining asosiy xarakteristikasi.
   

Tayanch so’zlar: Ideal va real suyuqliklar uchun Bernulli tenglamasi, Bernulli tenglamasining geometric va energetik mohiyati, geometric, p’ezometrik va tezlik bosim (napor) lar, holat potensial, holat potensial bosim va solishtirma kinetic energiyalar, tirik kesim yuzasi, ho‘llangan perimeter, gidravlikaviy radius, suyuqlikning sarfi va o‘rtacha tezligi.

6.1. Bernulli tenglamasining fizik ma’nosi
Real suyuqliklarda gidrodinamik bosim mavjud bo‘lib, harakat yo‘q bo‘lganda u gidrostatik bosimga aylanadi. Gidrodinamik bosimning xossalari gidrostatik bosim xossalariga qaraganda umumiyroqdir. Gidrodinamik bosim suyuqlikdagi ichki kuchlarni ifodalovchi va zo‘riqish kuchlari deb ataluvchi kuchlar tarkibiga kiradi. Suyuqlik ichiga joylashgan biror elementar hajmni olsak, unga tashqaridagi suyuqlik massasi ma’lum bir kuch bilan ta’sir qiladi. Shuningdek suyuqlikning harakatlanishi davomida uning zarrachalariga massa kuchlaridan tashqari harakat hisobiga hosil qiliadiga tezliklar tufayli energiya yuzaga keladi. Bernulli tenglamasi gidrodinamikaning asosiy tenglamasi hisoblanadi va u suyuqlikning harakati mobaynidagi suyuqlik energiyasining saqlanish hamda yo’qotilishini belgilaydi. Suyuqliklarning harakatlanishi davomidagi energiyaning taqsimlanish qonuniyatini Bernulli o’rgangan va harakat miqdori uchun quyidagi uchta kesimlaridan ikkita ixtiyoriy 1-1 va 2-2 kesimlari uchun energiyaning o’zgarish qonunini quyidagi tenglama yordamida ifodalagan:
(6.1)
Bu tenglama Bernulli tomonidan kashf qilingan bo‘lib, uning nomi bilan ataladi. Gidravlikaning gidrodinamika bo’limidagi suyuqlik harakatining asosiy tenglamasi deb o’rganiladi.
Ushbu tenglama ideal suyuqlikning barqaror harakati uchun energiyaning saqlanish qonuniyatini ifodalaydi. Suyuqlik energiyasining taqsimlanish qonuniyatini o’rganish maqsadida ushbu tenglamaning fizik mohiyatini geometrik va energetik nuqtai nazardan o’rganishadi.
Bernulli tenglamasining geometrik mohiyatiga binoan tenglamadagi yigindini tashkil etuvchi hadlarning ma’nosi quyidagicha:
z₁, z₂, va z₃ lar - geometrik balandliklar (tegishli kesimlarning og‘irlik markazlarining 0-0 taqqoslash tekisligiga nisbatan qancha balandlikda joylashganligini bildiradi);
P₁/γ, P₂/γ, P₃/γ lar - p’ezometrik balandliklar. Suyuqlik bosimi hisobiga uning shisha naychalardagi geometric balandliklari bo’lib, ularning o’lchov birliklari uzunlik birliklariga tengdir.
P’ezometrlardagi suyuqlik balandliklarini birlashtirsak, hosil bo‘lgan chiziq p’ezometrik chiziq deyiladi.
U₁²/2g, U₂²/2g, U₃²/2g lar - suyuqlikning tegishli kesimlaridagi tezlik bosim(napor)lari (balandliklari) deyiladi.
Bernulli tenglamasining energetik mohiyatiga binoan tenglamadagi yigindini tashkil etuvchi hadlarning ma’nosi quyidagicha:
z₁, z₂, va z₃ lar - kesimlardagi solishtirma holat potensial energiyalar;
P₁/γ, P₂/γ, P₃/γ lar - kesimlardagi solishtirma holat potensial bosim energiyalar;
U₁²/2g, U₂²/2g, U₃²/2g lar - kesimlardagi solishtirma kinetic energiyalar.
Ideal suyuqlikning barqaror harakati uchun Bernulli tenglamasidan tezlik, p’ezometrik va geometrik balandliklarning umumiy yig‘indisi o‘zgarmas miqdor bo‘lib, u 6.1- rasmdagi 0 - 0 taqqoslash tekisligiga nisbatan olinadi va suyuqlikning bosim (napor) tekisligi deb ataladi




6.1-rasm. Ideal suyuqlik uchun Bernulli tenglamasining geometrik va energetik mohiyatiga doir chizma.

Gidrodinamikada bu uchta balandliklar z_i, P_i/γ, U_i²/2g larning umumiy yig‘indisi suyuqlikning to‘liq bosimi (napori) deb ataladi va H bilan belgilanadi:

z_i + P_i /γ + U_i²/2g = H. (6.2)
Ushbu bog’lanish ideal suyuqlikning elementar oqimchasi uchun Bernulli tenglamasining geometrik ma’nosini bildiradi. Uning energetik ma’nosi kinetik energiyaning o‘zgarish qonuni bo‘yicha chiqarilishiga asoslangan. Boshqacha aytganda, Bernulli tenglamasi suyuqliklar uchun energiyaning saqlanish qonunidir. Bernulli tenglamasi (6.1) ning chap tomoni elementar oqimchaning 1-1 kesimdagi to‘liq solishtirma energiyasi bo‘lib, u 2-2 kesimdagi to‘liq solishtirma energiyasiga teng yoki umuman o‘zgarmas miqdordir.
6.2. Bernulli tenglamasining grafik ko’rinishidagi tasviri
Bernulli tenglamasining har bir hadi o‘zining geometrik va energetik mazmunlariga ega. Buni aniqlash uchun biror elementar oqimcha olib, uning 1-1, 2-2 va 3-3 kesimlarini ko‘ramiz (6.2- rasm). Bu kesimlarning og‘irlik markazlari 0-0 taqqoslash tekisligidan z₁, z₂, va z₃ masofalarda joylashgan deb qaraladi. Ushbu z₁, z₂, va z₃ kattaliklar 0-0 taqqoslash tekisligiga nisbatan elementar oqimchaning geometrik balandliklarini ifodalaydi. Elementar oqimchalar geometrik balandliklarining og’irlik markazlarida, yani 1-1, 2-2 va 3-3 kesimlar markazilariga mos keluvchi p’ezometrlar (to‘g‘ri shisha naycha) va uchi egilgan shisha naychalar o‘rnatamiz. Bu holda p’ezometrlarda suyuqlik kesimlar og‘irlik markaziga nisbatan ma’lum balandliklarga ko‘tariladi. Bu balandliklar gidrostatik bosimlarning hisobiga hosil qilingan geometric (p’ezometrik) balanliklarni belgilaydi, yani P₁/γ, P₂/γ, P₃/γ lar bo’lib, ular chizmada ushbu o’lchamlarning ma’lum masshtabdagi kesmalari tarzida tasvirlangan.
(6.3)
Ushbu tenglama real suyuqlikning barqaror harakati uchun energiyaning saqlanish qonuniyatini ifodalaydi. Suyuqlik energiyasining taqsimlanish qonuniyatini o’rganish maqsadida ushbu tenglamaning fizik mohiyatini geometrik va energetik nuqtai nazardan o’rganishadi.
Real suyuqlik uchun Bernulli tenglamasining geometrik va energrtik mohiyati ideal suyuqlik uchun deyarli bir xil, faqat α₁, α₂ koeffisiyentlar va  h_1-2 qo’shiluvchilar bilan farq qiladi. Ular o’z navbatida quyidagicha izohlanadi:
α₁ и α₂ - kesimlardagi kinetik energiyalarning koeffisiyentlari (Koriolis koeffisiyentlari);
 h_1-2 – quvur kesimlari oralig’idagi bosim (napor)lar yo’qolishining yig’indisi.
Real suyuqlik elementar oqimchasi uchun Bernulli tenglamasining grafigi quyidaicha chiziladi.
Buning uchun z₁, z₂, va z₃ balanliklarda joylashgan 1-1, 2-2 va 3-3 kesmalardagi tezliklari V₁, V₂ va V₃, bosimlari P₁, P₂ va P₃ bo‘lgan elementar oqimcha olamiz. Bu oqimcha uchun p’ezometr va uchi egilgan shisha naychalarni olamiz. P’ezometrlardagi suyuqlik balandliklarini tutashtirib p’ezometrik chiziq P-P ni hosil qilamiz. Uchi egik naylarda suyuqlik balandliklarini birlashtirib, suyuqlik bosimi chizig‘i H-H ni hosil qilamiz (6.2-rasm). Qurilgan grafikni ideal suyuqlik uchun olingan grafik (6.1-rasm) bilan solishtiramiz. Natijada ideal suyuqlik uchun oqimchaning birinchi qismidagi gidravlik bosimlarga tengligini, ya’ni H₁=H₂=H₃=H ekanligini, real suyuqlik uchun birinchi kesimdagi gidrodinamik bosim H1 ikkinchi va uchunchi kesimlardagi bosimlarga teng emasligini, ya’ni H₁ > H₂ > H₃ ekanligini ko‘ramiz (6.2-rasm).
h_1-2 = H1 - H2,
Demak, real suyuqlikning elementar oqimchasi harakat qilganda solishtirma energiyaning ma’lum bir qismi yo‘qotilar ekan, birinchi va ikkinchi kesimlar orasidagi bu yo‘qotishni h_1-2 harfi bilan belgilaymiz. Bunda indeks, orasida yo‘qotish bo‘layotgan kesimlar nomerini ko‘rsatadi. Aytilgan yo‘qotishni mohiyatini quyidagicha izohlash mumkin. Real suyuqlik elementar oqimchasi harakat qilayotganda ichki ishqalanish kuchi natijasida gidravlik qarshilik paydo bo‘ladi. Uni yyengish uchun albatta ma’lum bir miqdorda energiya sarflash kerak. Bu sarflangan energiya ko‘rilayotgan harakat uchun tiklanmaydi. YUqorida keltirilgan tengsizlik ana shu yo‘qotilgan energiya hisobiga bo‘ladi. Birinchi va ikkinchi kesimlar orasidagi yo‘qotilgan solishtirma energiya gidravlik bosimlar farqiga teng.





6.2- rasm. Real suyuqlik uchun Bernulli tenglamasining geometrik va energetik mohiyatiga doir chizma.
Shundaq qilib, qaralayotgan kesimlardagi energiyaning yo’qotilishi quyidagi tenglamalar yordamida aniqlanadi:
h_1-2 = H1 - H2,
h_2-3 = H2 – H3,
Naporning umumiy yo’qоtilishi quyidagicha topiladi:
h_1-3 = h_1-2 + h_2-3 = H1 - H2– H3,