6 -ma’ruza Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari
Download 0.64 Mb. Pdf ko'rish
|
6-ma’ruza
- Bu sahifa navigatsiya:
- Ma’ruza rejasi
- Original va tasvir 1-Ta’rif. 1-3
- Operatsion hisobning asosiy teoremalari
- 2-Misol.
- 8-Teorema.
- 7-Misol.
- Original- tasvirlar jadvali
|
1
Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari Ma’ruza rejasi: 1. Laplas almashtirishi. 2. Original va tasvir. 3. Operatsion hisobning asosiy teoremalari. Laplas almashtirishi Haqiqiy o’zgaruvchili funksiyaning Laplas almashtirishi deb
(1) formula bilan aniqlanuvchi kompleks o’zgaruvchili funksiyaga aytiladi, bu yerda
Integral kompleks parametrga bog’liq bo’lib, unga Laplas integrali deyiladi. funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror funksiyani aniqlasin? Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin: 1.
funksiya da bo’lakli uzluksiz, demak funksiya uzluksiz yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli); 2. Barcha
larda ; 3.
da | | funksiyaning o’sishi ko’rsatgichli funksiyadan oshmaydi, ya’ni shunday va mavjudki, barcha larda | |
(2) (2) tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha qiymatlarning quyi chegarasi
qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi. 3-shart Laplas integrali yaqinlashishini ta’minlaydi. Bu shartni barcha chegaralangan funksiyalar, shuningdek barcha
darajali funksiyalar qanoatlantiradi. Original va tasvir 1-Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya original deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi funksiya esa funksiyaning tasviri deb ataladi Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni , yoki [ ] ko’rinishda belgilaymiz. Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi. Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki, differensiallash amali ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi. Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz. 1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping. ► a) Birlik funksiya va uning tasviri. 2
Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz: {
Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz
|
Bu tenglik shart bajarilganda o’rinli. Demak
(3)
Agar funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u holda {
funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi. (3) tenglikda ko’paytuvchini ko’paytuvchini tushirib qolamiz va funksiyani da nolga teng deb hisoblaymiz. Bu holda
b)
.
Bu integral demak da yaqinlashuvchi va
ya’ni
c)
bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son. Ma’lumki,
[
] Shuning uchun ta’rif bo’yicha
Shunday qilib
bu yerda c) Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak
munosabatni hosil qilamiz (tekshiring). 3
d)
, kompleks son. Ta’rifga ko’ra
(
)
Shunday qilib
e) Xuddi shu singari
munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring); f) , kompleks son
Shuning uchun
bu yerda | | Demak,
g)
| | (mashq sifatida tekshiring).◄ Endi har qanday original uchun tasvir mos kelishi haqidagi teoremaga o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli: 1-Teorema. Har qanday original funksiya uchun,
yarim
tekislikda (1) tenglik bilan aniqlanuvchi tasvir funksiya mavjud va ushbu yarim tekislikda analitik funksiyadan iborat, bu yerda
original funksiyaning o’sish ko’rsatgichi. ► Original funksiya ta’rifining 3-shartiga ko’ra | |
. Agar
bo’lsa |
|
shuning uchun |
|
Bu yerdan |
|
| |
Shunday qilib | | |
|
Bu yerdan (1) integralning mutlaq yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni tasvir funksiya mavjud. ◄
4
original bo’lsa, u holda
► Agar ning o’sish ko’rsatgichi
bo’lsa yuqorida isbotlanganiga ko’ra | |
Agar bu tengsizlikda da limitga o’tsak
.◄ Operatsion hisobning asosiy teoremalari Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi. 2-Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar
va
funksiyalarning tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha
nuqtalarda ustma ust tushadi. 3-Teorema. (Chiziqlilik) Agar va bo’lsa, u holda ixtiyoriy va kompleks sonlari uchun
(4) ►Ta’rif bo’yicha funksiyaning originalini integralning chiziqliligidan foydalanib topamiz [ ]
◄ Chiziqlilik teoremasiga misol tariqasida funksiyaning tasvirini topamiz.
(
)
(
)
bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun
(
) (5)
► funksiyaning tasvirini hisoblash uchun, integralda almashtirish bajaramiz: [ ]
(
) (5) munosabatni hosil qoldik.◄ 5-Teorema. (Siljish) Agar bo’lsa, u holda
►Ta’rif bo’yicha
ning tasvirini topamiz [
]
5
[ ]
◄ Demak, siljish teoremasiga ko’ra originalni
ga ko’paytirish, tasvir argumentining qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar funksiyaning tasviri ma’lum bo’lsa,
funksiyaning tasvirini topish mumkin. Masalan,
(Originalni differensiallash) Agar va
bu originalning hosilalari bo’lsa, u holda
(7) ►Ta’rifga ko’ra [
]
Bu integralni bo’laklab integrallaymiz:
, demak [
]
|
funksiyaning o’sish tezligi dan katta bo’lganligi uchun da |
| . Shuning uchun
. ning tasvirini topish uchun bu usulni ikki marta qo’llaymiz. Agar
tasviri uchun bu usulni marta qo’llasak (7) formula kelib chiqadi. ◄ Agar
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bo’lsa, (7) formula soddalashib
ko’rinishga keladi. Xususan
2-Misol.
funksiyaning tasvirini toping. ► Ma’lumki,
. Agar bu yerda originalni differensiallash teoremasini qo’llasak
|
yoki
. ◄ 7-Teorema. (Originalni integrallash) Agar bo’lsa, u holda
(8) ► Agar
original bo’lsa,
6
ham original bo’lib
, tengliklar o’rinli. Agar bo’lsa, ni differensiallab, originalni differensiallash teoremasiga asosan
, ya’ni ga ega bo’lamiz. Demak
◄ 8-Teorema. (Tasvirni differensiallash) Agar bo’lsa, u holda
(9) ► funksiya
(
funksiyaning o’sish tezligi) yarim tekislikda analitik bo’lganligi uchun, uning ixtiyoriy tartibdagi hosilasi mavjud. Shunga asosan funksiyadan hosila olsak,
( )
( ) demak,
(9) formulani keltirib chiqarish uchun induktsiya usulini qo’llash mumkin. ◄
funksiyaning tasvirini toping ► Buning uchun
asosan topamiz (
)
va hokazo bu jarayonni marta takrorlasak
ni hosil qilamiz. Agar bu yerda siljish teoremasini qo’llasak
bo’ladi.◄ 4-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini tasvirni differensiallash teoremasidan foydalanib hisoblang. ►a) . Tasvirni differensiallash teoremasiga asosan (
)
b)
(
)
c)
(
)
a) 7
(
)
munosabatlarni hosil qilamiz. ◄ 9-Teorema. (Tasvirni integrallash) Agar va original bo’lsa, u holda
(10) ►
bo’lsin. funksiyani ( yarim tekislikda analitik) differensiallab topamiz
Bu tenglikni da integrallasak
1-Teoremaning natijasiga ko’ra va
ya’ni
5-Misol. Integral sinus ning tasvirini toping:
►9-Teoremaga asosan
|
Oxirgi munosabatga originalni integrallash teoremasini qo’llaymiz, u holda
(
) munosabatga ega bo’lamiz.◄ 10-Teorema. (Originalning kechikish teoremasi) Agar
va bo’lsa, u holda
(11) ► ning tasvirini topish uchun integralda o’zgaruvchini almashtiramiz [ ]
|
|
. ◄ 8
Bu teoremada kechikish so’zining ma’nosi quyidagicha: va bir xil funksiyalar bo’lib, farq shundaki, funksiya grafigi ga gisbatan
birlik o’ngga surilgan (1 rasm).
Demak, fizik jihatdan va funksiyalar bir xil jarayonni ifodalaydi faqatgina funksiya ifodalaydigan jarayon vaqtga kechikib boshlanadi.
va funksiyalarning ko’rinishda belgilanadigan o’ramasi deb
(12) tenglik bilan aniqlanadigan funksiyaga aytiladi. 6-Misol. ,
funksiyalarning o’ramasini toping. ► Bu funksiyalarning (12) o’ramasini bo’laklab integrallaymiz
|
|
|
|
Demak,
◄ 11-Teorema (Tasvirlar ko’paytmasi) Agar , , u holda funksiyalar o’ramasining tasviri tasvirlar ko’paytmasiga teng:
► o’ramaning tasvirini hisoblaymiz [ ]
(
)
Bu ikki karrali integralning integrallash sohasini qaraymiz:
(2 rasm). Agar integrallash tartibini o’zgartirsak . Demak
t
1- rasm
t=𝜏 𝜏
2- расм
9
[ ]
Ichki integralda
ko’rinishda almashtirish bajaramiz, u holda [ ]
O’ng tomondagi ifoda ikkita integralning ko’paytmasi bo’lib, ular mos ravishda va funksiyalarning tasvirlaridan iborat.
Demak . ◄ 7-Misol. Funksiyaning originalini toping:
► Tasvirni ko’paytma shaklida yozamiz:
Bu yerdagi ikkita ko’paytuvchi mos ravishda va funksiyalarning tasvirlari. Tasvirlar ko’paytmasi formulasiga asosan
(
)
[ ] [
] | Demak
bo’lar ekan.◄ Tasvirlar ko’paytmasining maxsus ko’rinishi, ya’ni ning originalini topish formulasini keltirib chiqaramiz. Quyidagicha almashtirish bajaramiz
Originalni differensiallash teoremasiga ko’ra
. Demak, tasvirlar ko’paytmasi va Laplas almashtirishining chiziqliligiga ko’ra
yoki
(14) tenglik Dyuamel formulasi deb ataladi. Endi Laplas almashtirishining bu bo’limda o’rganilgan xossalari, ular yordamida hosil qilingan ba’zi elementar va tadbiqlarda ko’p uchraydigan maxsus funksiyalarning tasvirlari jadvalini keltiramiz. Original- tasvirlar jadvali Original Tasvir
10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
11
21.
22.
23.
24.
Download 0.64 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|