6-7-mavzu. Algebraik amal. Gruppalar. Qismgruppa. Normal bo‘luvchi, faktor gruppalar. Siklik gruppalar. Gruppalar gomomorfizmi haqidagi teorema. Halqalar, ularning turlari. Qism halqalar, ideallar. Bosh ideallar halqasi

6-7-mavzu. Algebraik amal. Gruppalar. Qismgruppa. Normal bo‘luvchi, faktor gruppalar. Siklik gruppalar. Gruppalar gomomorfizmi haqidagi teorema. Halqalar, ularning turlari. Qism halqalar, ideallar. Bosh ideallar halqasi. Faktor halqalar. Halqalar gomomorfizmi haqidagi teorema.
Tayanch iboralar: algebraik amal, binar amal, yarimgruppa, monoid, neytral element, algebraik sistemalar, akslantirish, teskarilanuvchi, gomomorfizm.
Mashg’ulotning maqsadi: talabalarga algebraik amallar, yarim-gruppalar va monoidlar, gomomorfizmlar xossalari haqida bilimlar berish hamda ularning tatbiq qilish misollarini o’rganish.
Binar amal aniqlangan to’plamga shu amalga nisbatan algebraik sistema deyiladi va shaklda yoziladi. to’plamda kiritilgan binar amal uchun o’rinli bo’lsa, dagi amalga kommutativ amal deyiladi.
Bundan ko’rinib turibdiki, bitta to’plamga bir nechta algebraik amallarni kiritib har xil algebraik sistemalarni hosil qilishimiz mumkin. Masalan, natural sonlarni qo’shish va ko’paytirish da algebraik amallar bo’lib, bu amallar nisbatan algebraik sistemalarini hosil qilishimiz mumkin.
Ta’rif 4.2. Agar da kiritilgan binar amal
,
uchun o’rinli bo’lsa, bunday amalga assosiativ deyiladi.
Ta’rif 4.3. Agar algebraik sistemadagi amal assosiativ bo’lsa, bunday to’plamga yarimgruppa (polugruppa) deyiladi.
Masalan, natural sonlar to’plami qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan yarimgruppaalar bo’ladi.
Teorema 4.4. Har qanday va yarimgruppaning uchun
(1)
tengligi o’rinli.
Bu teoremaning isboti matematik induksiya metodi yordamida ko’rsatiladi va uni o’quvchining ixtiyoriga havola qilinadi.
Teorema 4.4.dagi (1) tenglik umumlashgan assosiativlik qonuni deb ataladi. Bu qonun shuni ko’rsatadiki, ushbu ifodaning qiymati (berilgan amalga nisbatan) qaysi tartibda bajarilishiga, ya’ni bu tartibli aniqlovchi qavslarni qanday qo’yishiga bog’liq emas.
Agar yarimgruppadagi amal ko’paytma bo’lsa, ko’rinishda va agar bo’lsa, uni ko’rinishda yoziladi. Bu belgilashlardan va (1) tenglikdan
(2)
tengliklarning o’rinliligi bevosita kelib chiqadi.
Agar yarimgruppada binar amalining belgisida qo’shish belgisi ishlatilsa, (1) tenglik yig’indi ko’rinishda yoziladi. Bu holda (1) tenglik ushbu

ko’rinishga ega bo’ladi.
Agar bo’lsa, bo’ladi. Bu belgilashlarga ko’ra (2) tengliklar ushbu
(3)
ko’rinishga ega bo’ladi ( ).
Ta’rif 4.5. yarimgruppaning

tenglik o’rinli bo’lsa, elementga neytral element deyiladi.
Agar dagi amal ko’paytirish amali bo’lsa, ga birlik va qo’shish amali bo’lsa, ga nol element deyiladi va mos ravishda 1 va 0 raqamlari orqali yoziladi.
Teorema 4.6. to’plamda berilgan binar amal uchun neytral element mavjud bo’lsa, u yagonadir.
Isbot. Faraz qilaylik, da ikkita neytral elementlar mavjud bo’lsin. U holda va tengliklarni olamiz. Bulardan tenglik kelib chiqadi.
Teoremaning isbotidan ko’rinib turibdiki, ning yarimgruppa bo’lishiga ahamiyatga ega emas.
Ta’rif 4.7. Neytral elementga ega bo’lgan yarimgruppaga monoid deyiladi.
Masalan, polugruppa bo’lib, u monoid ham bo’ladi, chunki 1 soni birlik (neytral) vazifasini bajaradi, lekin polugruppa bo’lib, monoid bo’lmaydi, chunki da 0 soni, ya’ni neytral element mavjud emas.
monoid, neytral element va biror element bo’lsin. Agar element

tenglik o’rinli bo’lsa, element ga teskari deyiladi. Agar dagi binar amal qo’shish amali bo’lsa, “teskari” so’zi o’rniga “qarama-qarshi” so’zi ishlatiladi.
Har qanday monoidda ham unda berilgan elementning teskarisi mavjud bo’lavermaydi, lekin kamida bitta teskari element mavjuddir, bu neytral elementning o’zidir (bu element o’zi-o’ziga teskarilanuvchidir).
Masalan, monoidda 1 sonidan boshqa teskari elementlar mavjud emas.
Teorema 4.8. Agar monoidning berilgan elementi uchun teskarisi mavjud bo’lsa, u yagonadir.
Isbot. Faraz qilaylik, va elementlar ga teskari bo’lsin. U holda

va
,
ya’ni ekanligi kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlaymizki, ko’paytirish amaliga nisbatan teskari element ko’rinishda va qo’shish amaliga nisbatan qarama-qarshi element ko’rinishda yoziladi.
Bizga va algebraik sistemalar berilgan bo’lsin.
Ta’rif 4.9. Agar akslantirish va uchun

tenglik o’rinli bo’lsa, akslantirishga ning ga gomomorfizmi deyiladi.
Ta’rifdan ko’rinib turibdiki, gomomorfizm, va dagi amallarni saqlaydi va bundan tashqari gomomorfizm ta’rifidan yarimgruppa va monoidlar uchun ham o’rinlidir.
Misol. to’plam ko’paytirish qo’shish amallariga nisbatan monoid bo’lib,

akslantirishni qaraymiz. U holda

bo’ladi va demak logarifmik akslantirish gomomorfizmni beradi.
Teorema 4.10. monoidlar gomomorfizi (bu yerda va lar amallarga nisbatan neytral elementlar) neytral elementni neytral elementga va agar monoidda teskari element mavjud bo’lsa, teskari elementni teskari elementga o’tkazadi.
Isbot. va demak neytral element bo’lib, neytral elementning yagonaligidan bo’ladi. Xudi shunday dan ni ga teskari element ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Shuni ta’kidlaymizki, bo’lib, monoidda mavjud bo’lgan hamma teskarilanuvchi elementlarning to’plami qism to’plam bo’lib, bu qism to’plam monoid bo’ladi va unga qism monoid deyiladi.