6-amaliy. Malumotlarni approksiymatsiyalash va interpoliyatsiyalash funktsiyalari

6-amaliy. Malumotlarni approksiymatsiyalash va interpoliyatsiyalash funktsiyalari

Ko‘pgina amaliy masalalarini yechishda funksiyalarni approksimatsiya yoki interpolyatsiya yordamida yaqinlashtirish masalalarini yechish talab etiladi.

Approksimatsiya deganda bir funksiya (approksimatsiya-lanuvchi) ni berilgan qiymatlari va ma’lum kriteriy asosida boshqa eng yaxshi yaqinlashuvchi funksiyaga almashtirish tushuniladi.
Injenerlik amaliyotida odatda tekis va o‘rta kvadratik yaqinlashish kriteriysi qo‘llaniladi.

APPROKSIMATSIYA NIMA?

Approksimatsiya – bu lotincha approximatus so’zidan olingan bo’lib, (ingliz tilida approximation) juda yaqin degan ma’noni bildiradi.
Fanda yoki tadqiqotlar jarayonida “Approksimatsiya” tushunchasi mavjud modeldan (funksiyadan) foydalanish qiyin bo’lgan hollarda, model yoki jarayon sifatida qaraladi.
Approksimatsiya hisoblash jarayonini osonlashtiradi.
Shunday ma’lumotlar borki, ularni aniq funksiya bilan ifodalash imkoniyati yo’q, bunday hollarda ham approksimatsiyalash masalasidan foydalaniladi;
f(x) -> g(x)
Matlabда аппроксимацияловчи функция сифатида n – тартибли кўпҳад, аппроксимация критерийси сифатида ўрта квадратик четланиш ишлатилади.
Аппроксимациялаш функцияси қуйидаги кўринишга эга:
р=polyfit(x,y,n),
бу ерда:
x,y – бир хил ёки турли қадамдаги тугун нуқталар ва шу нуқтадаги берилган қийматлар;
n – аппроксимацияловчи полином тартиби;
р – аппроксимацияловчи полином коэффициентлари вектори.

Мисол. функциянинг бир хил қадамдаги тугун нуқталардаги қийматлари асосида 5-тартибли кўпҳад билан аппроксимация қилиш.
>> x=pi/8:pi/8:4*pi; y=sin(x)./x;
>> p=polyfit(x,y,5); fa=polyval(p,x);
>> subplot(3,1,1:2),plot(x,y,'-o',x,fa,':*'), grid, hold on;
>> error=abs(fa-y);subplot(3,1,3),plot(x,error,'--p')

Интерполяция деганда бир функциянинг кам сонли тугун нуқталари (интерполяция тугунлари)да берилган қийматлардан фойдаланиб, қийматлари берилган функциянинг тугун нуқталардаги қийматлари билан устма-уст тушувчи ва тугун нуқталар орасидаги ихтиёрий нуқтада функциянинг қийматларини ҳисоблашга имкон берувчи яқинлашувчи полином билан алмаштириш тушунилади.


INTERPOLYATSIYA NIMA?


Interpolyatsiya – hisoblash matematikasida to’plam yoki ob’yektga tegishli berilgan diskret qiymatlardan oraliq qiymatlarni qidirish va topish usuli hisoblanadi.
Interpolyatsiyalash usullari:
• bir o’lchamli “yaqin qo’shnilar” usili
• chiziqli usul
• kubik usul
• ikki o’lchamli “yaqin qo’shnilar” usuli
• B-chiziqli usul
• B-kubik usul

Функцияларни интерполяциялаш
Бир ўзгарувчили функцияларни интерполяциялаш функцияси орқали амалга оширилади, бу ерда:
x – интерполяция тугунлари (тенг қадамли, тенгмас қадамли);y – интерполяция қилинувчи функция;
xi – тугун ва оралиқ нуқталар;
<метод> - интерполяцияловчи функциялар:

• 
  ‘nearest’ – 0-тартибли кўпҳад;
  
• 
  ‘linear’ – 1-тартибли кўпҳад;
  
• 
  ‘cubic’ – 3-тартибли кўпҳад;
  
• 
  ‘spline’ – кубик сплайн;
  

- интерполяцияловчи функция қийматлари.

Мисол: функциянинг бир хил қадам билан кубик кўпҳад ва кубик сплайн асосида интерполяцияси.
>> x=pi/8:pi/2:(4*pi+pi/2); y=sin(x)./x;
>> xi=pi/8:pi/16:(4*pi+pi/16);
>> fi1=interp1(x,y,xi,'pchip');
>> plot(x,y,'-o',xi,fi1,':*'), grid, hold on;
>> legend('y=sin(x)./x','cubic')
>> figure
>> fi2=interp1(x,y,xi,'spline');
>> plot(x,y,'-o',xi,fi2,':*'), grid, hold on;
>> legend('y=sin(x)./x','spline')