6-amaliy mashg’ulot: Kompleks sonlar. Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar

6-amaliy mashg’ulot: Kompleks sonlar.


Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1-m i s o l. Quyidagi tenglamadan x va y haqiqiy sonlarni toping:
( 5 x – 3 y ) + ( x – 2 y ) i = 6 + ( 8 – x + y ) i.
Yechish. Kompleks sonlarning tenglik shartidan foydalanib,

sistemani hosil qilamiz. Bu sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz: . ■
2-m i s o l. i ning darajalarini toping.
Yechish. Ta’rifga ko’ra i⁰ = 1, i¹ = i va i² = 1. Shuning uchun
i ³ = i²i = i, i⁴ = i³ i = 1, i⁵ = i⁴i = i.
Umuman olganda: i⁴ⁿ = 1, i⁴ⁿ⁺¹ = i, i⁴ⁿ⁺² = 1, i⁴ⁿ⁺³ = - i, nN. ■
3-m i s o l. Darajaga ko’taring: (1+ i)²⁰, (1- i)²¹.
Yechish. Bu masalani Nyuton binomi formulasidan foydalanib hal qilsa bo’ladi, lekin uni quyidagicha yozish qulayroq:
(1+ i)² = 2i, (1- i)² = 2i. U holda

■
Kompleks koeffisiyentli istagan kvadrat tenglamani yechish uchun, avvalo kompleks sonning kvadrat ildizini topa olish kerak. Ta’rifga ko’ra x+yi son a+bi sonning kvadrat ildizi bo’lishi:
(x + yi)² = a + bi (*)
tenglikning bajarilishiga teng kuchli.
(*) tenglik quyidagi formulalar yordamida topiladigan ikkita har xil yechimlarga ega bo’ladi:
,
bu yerda radikal arifmetik ildizni bildiradi, agar b 0 bo’lsa, x va y larning ishoralari bir xil qilib, b  0 bo’lganda esa har xil qilib tanlanadi.
4-m i s o l. ildizning qiymatlari 5  i va 5 + i bo’ladi.■
Kvadrat ildizni to’g’ridan to’g’ri topish ham mumkin.
5-m i s o l. Ildizdan chiqaring:
Yechish. bo’lsin. Ildizning ta’rifiga ko’ra
(x + yi)² = 5 + 12i yoki (x²  y²) + 2 x y i = 5 + 12i,
bundan

sistemani hosil qilamiz.
Bu sistemadagi ikala tenglikni kvadratga ko’tarib va ularni qo’shib, (x² + y²)² = 25 + 144 va x² + y² = 13 larni hosil qilamiz.
U holda sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz:
x = 3, y = 2.
Oldingi sistemaning ikkinchi tenglamasidan x va y larning bir xil ishorali bo’lishi kelib chiqadi. Shuning uchun x₁ = 3, y₁ = 2; x₂ =-3,
y₂ =-2. Shunday qilib, ildiz ikkita 3 + 2i va 3  2i qiymatlarga ega.■
Endi kompleks sonning kvadrat ildizini topishni bilgan holda aynan maktab matematika kursidekdagi kompleks koeffisiyentli
ax² + bx + c = 0
tenglamaning ildizlari

formula yordamida topilishini ko’rsatish mumkin.
6-m i s o l. (3  i)x² - 2(2  3i)x - 4i = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari x₁ = 0,4  0,8i va x₂ = 0,2  1,4i sonlardan iborat. ■