6-ma’ruza. Chizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa va Gauss usullari. Reja: Chizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli

6-ma’ruza. CHizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa va Gauss usullari.
Reja:
1. CHizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli.
2. CHizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.

1. 
   Chiziqli tеnglamalar sistеmasini yеchishning matrissa usuli
   

Aytaylik bizga n ta noma’lumli n ta chiziqli tеnglamalar sistеmasi bеrilgan bo‘lsin.

 (6.1)

Ushbu bеlgilashlar kiritamiz:

,    (6.2)

U holda (6.1) sistеmani matrisalarni ko‘paytirish qoidasidan foydalanib, ushbu ekvivalеnt shaklda yozish mumkin:

(6.3)
Bu yеrda A-noma’lumlar oldidagi koeffitsiyеntlardan tuzilgan matrisa, B-ozod hadlardan tuzilgan ustun matrisa,X-noma’lumlardan tuzilgan ustun matrisa.
Agar А matrisa xosmas, ya’ni bo‘lsa, u holda uning uchun tеskari matrisa mavjud. (6.3) matrisali tеnglamaning ikkala qismini _{ga chapdan ko’paytirib, quyidagini hosil qilamiz:}

yoki
 .
  ekanligini hisobga olib,
(6.4)
ni topamiz. (6.4) formula А matrisa xosmas bo’lganda n no’malumli nta chiziqli tеnglamalar sistеmasi yеchimining matrisali yozuvidan iborat bo‘ladi.
Misol.U shbu sistеmani yеching:



Yechish: Bu yеrda


 ,  , .







;
 ;
.

Bundan: , , ,

2. CHizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
Чизиқли алгебраик тенгламалар системасининг сонли ечимларини топишда детерминантлар усули икки ва уч ноъмалумли тенгламалар системаси учун қулайлидир.
Агар, тенгламалар ва ноъмалумлар сони икки ва учдан ортиқ бўлса, тенгламалар системасини ечишнинг ноъмалумларни кетма-кет йўқотиш усули ёки Гаусс усули деб аталган усулдан фойдаланилади.


та ноъмалумли та тенгламалар системасини қараймиз.


(6.5)
Агар чизикли тенгламар системаси ечимга ега булса, у биргаликда, агар ечимга ега булмаса, у биргаликда эмас дейилади.
Қуйидаги элементар алмаштиришлар натижасида тенгламалар системаси ўзига тенг кучли системага алмашади.

1. 
   Исталган икки тенгламани ўринларини алмаштирилса;
   
2. 
   Тенгламалардан исталган бирини иккала томонини нолдан фарқли сонга кўпайтирилса;
   
3. 
   Тенгламалардан бирини исталган ҳақиқий сонга кўпайтириб, бошқа тенгламага қўшилса.
   

Гаусс усулининг моҳияти номаълумларни иккинчи тенгламадан бошлаб, кетма-кет йўқотиб охирги тегламада битта ноъмалум колгунча давом еттирилади ва охирги тенгламадан юкорига караб ноъмалумларни кетма-кет топиб, ечим хосил килинади.
1-қадам. (1) системада биринчи тенгламани ҳар икки томонини а₁₁ га бўлиб, тенг кучли ушбу системани ҳосил киламиз:
(6.6)

Биринчи тенгламани а₂₁ га купайтириб иккинчи тенгламадан, а₃₁ га купайтириб учинчи тенгламадан ва хоказо га кўпайтириб, -тенгламадан айирамиз. Натижада яна берилган системага тенг кучли ушбу янги системани ҳосил қиламиз:

(6.7)

Бу системада қуйидагича белгилашлар киритилган:

Гаусс усулини тўрт ноъмалумли тўртта тенгламалар системаси учун қўлланамиз.

(6.8)


бўлсин.( бўлса, тенгламалар тартибини ўзгартирамиз, яъни олдидиги коэффициент нолдан фарқли бўлган тенглама билан биринчи тенлама ўрнини алмаштирамиз).
1-қадам. а) 1-тенгамани га бўламиз, б) олинган тенгламани га кўпайтирамиз ва иккинчи тенгламадан оламиз, кейин га кўпайтирамиз ва учинчи тенгламадан оламиз,охирида га кўпайтирамиз ва тўртинчи тенгламадан оламиз.1-қадам натижасида қуйидаги системага эга бўламиз:


(6.9)
лардан ларга қуйидаги формула бўйича ўтилган:

Кейинги қадамларда (7.3.5) системанинг ҳар бир элементи учун юқоридаги жараёнларни кетма-кет такрорласак, натижада қуйидагига эга бўламиз:

Бу системадан ноъмалумлар кетма-кет турда топилади.
1-мисол. қуйидаги тенглама системаси ечилсин .

Ечиш. Биринчи тенгламанинг барча ҳадларини а₁₁=2 га бўлиб,

системани ҳосил қиламиз.
Биринчи тенгламани 3га кўпайтириб иккинчи тенгламадан, сўнгра учинчи тенгламадан биринчи тенгламани айирамиз:

Иккинчи тенгламани 0.5 га булиб, сўнгра уни -1.5 га купайтириб, уни учинчи тенгламадан айирамиз. Натижада

ҳосил бўлади. Бундан кетма-кет х₃=3, х₂=-1+3=2, х₁=0.5-0.5х₂ +0.5х₃ =1 ларни топамиз. Шундай килиб, берилган системани ечими х₁=1, х₂ =2, х₃ =3 дан иборат экан.


Savollar.
1. CHizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli qanday?
2. CHizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli qanday?