Определенный интеграл

Эҳтимоллар назарияси

Эхтимоллар назарияси фани

• Эхтимоллар назарияси тасодифий ҳодисаларнинг қонуниятларини ўргатувчи фандир.
• Маълум шартлар тўплами(мажмуаси) бажарилганда рўй бериши (келиб чиқиши) ёки рўй бермаслиги мумкин бўлган хар қандай ходиса(воқеа) тасодифий ходиса деб аталади. Шартлар тўпламини хар гал амалга оширилиши синов (ёки тажриба) дейилади

Ҳодисанинг нисбий частотаси

Ҳодисалар йиғиндиси ва кўпайтмаси

Муқарар ва ишончсиз ҳодиса

Элементар ва мураккаб ҳодиса

Биргаликда бўлмаган ва қарама-қарши ҳодиса

Эҳтимолнинг классик таърифи

Эҳтимолни ҳисоблашга доир мисол

Геометрик эҳтимол

Ҳодисалар йиғиндиси эҳтимоли

• Таъриф. A ва B ходисалар йиғиндиси деб бу ходисалардан камида биттасининг рўй беришидан иборат бўлган С ходисага айтилади. Биз биргаликда бўлмаган A ва B ходисалар йиғиндисининг эхтимолини қараймиз. P(A) ва P(B) мос равишда уларнинг эхтимоллари бўлсин.
• 1 – теорема. Иккита биргаликда бўлмаган A ва B ходисалар йиғиндисининг эхтимоли шу ходисалар эхтимолларининг йиғиндисига тенг:

Эҳтимолларни қўшиш теоремаси

Иккита биргаликда бўлган ходисадан хеч бўлмаганда бирининг рўй бериш эхтимоли

Шартли эҳтимол

Ҳодисалар кўпайтмасининг эҳтимоли

Тўлиқ эхтимол формуласи

• Айтайлик, А ходиса тўлиқ группа ташкил этувчи n та жуфт-жуфти билан биргаликда бўлмаган H1, H2, …, Hn ходисаларнинг биттаси ва фақат биттаси билан биргаликда рўй бериши мумкин бўлсин. У холда, агар А ходиса рўй берган бўлса, бу жуфт-жуфти билан биргаликда бўлмаган AH1, AH2, …, AHn ходисаларнинг бирортаси рўй берганини билдиради. Демак,
• A = AH1 + AH2 +… + AHn .
• У холда, эхтимолларни қўшиш теоремасига асосан, тубандагига эга бўламиз:
• P(A) =P( AH1 + AH2 +… + AHn ) = P(AH1) + P(AH2) + … + P(AHn).
• Бироқ,
• шунинг учун .
• Бу формула тўлиқ эхтимол формуласи дейилади

Байес формуласи

• Бирор тажриба ўтказилмоқда ва унинг ўтиш шартлари тўғрисида тўлиқ группа ташкил этувчи жуфт-жуфт бўлиб биргаликда бўлмаган n та H1, H2, …, Hn гипотезаларни айтиш мумкин бўлсин. Гипотезаларнинг эхтимоли P(Hi) га тенг. Тажриба натижасида А ходиса рўй бериши хам, рўй бермаслиги хам мумкин бўлсин, шунинг билан бирга, агар тажриба гипотеза бажарилганда ўтаётган бўлса, (i = 1, 2, …, n) экани маълум бўлсин.У холда, агар А ходиса рўй берганлиги маълум бўлиб қолса, PA(Hi) эхтимолларнинг қийматлари қизиқтиради
• Бу Байес формуласи деб аталади.