6-ma’ruza. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Asosiy tushunchalar Tayanch so’z va iboralar

1-teorema. (Kramer teoremasi) Agar
(2)
sistemaning determinanti noldan farqli bo’lsa, u holda (3) sistema yagona yechimga ega bo’ladi va bu yechim quyidagi formulalar bilan topiladi:
(3)
bu yerda , , …, determinantlar determinantda noma’lum oldidagi koeffitsientlarni mos ravishda ozod hadlar bilan almashtirish orqali hosil qilinadi.
(3) formulalarga Kramer formulalari deyiladi.
Agar va , , …, lardan birortasi noldan farqli bo’lsa, u holda (2) sistema yechimga ega bo’lmaydi.
Agar va bo’lsa, u holda (2) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.
Misol.

1. 
   Quyidagi
   

chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini Kramer formulalari yordamida toping.
Yechish. Sistemaning asosiy determinanti ni hisoblaymiz. Bunda
. bo’lganligi sababli berilgan sistema aniq sistemani tashkil qiladi va u yagona yechimga ega bo’ladi. Bu yechim Kramer formulalari yordamida quyidagicha topiladi:
,
,
.
Demak, sistemaning yechimi: ( -3; 2; 1).

2. 
   Ushbu
   

chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini Kramer usulida toping.
Yechish. Quyidagi determinantlarni hisoblaymiz.
,
,
,

Endi Kramer formulalaridan , , larni topamiz.
Agar sistemada va bo’lib, bo’lgan holda ham Kramer formulalaridan foydalanib uning yechimni topsa bo’ladi.
Buni quyidagi misolda ko’ramiz.
3) Ushbu

tenglamalar sistemasini Kramer usulida eching.
Yechimi. Sistema matritsasi A va kengaytirilgan matritsasi

larning rangini topib ekanligini ko’ramiz. Uning minori

noldan farqli. Shuning uchun to’rtinchi tenglamani tashlab yuboramiz, qolgan tenglamalarda qatnashgan hadlarni o’ng tomonga o’tkazamiz

Bu sistemani Kramer usuli bilan echib

yechimni topamiz. ga ixtiyoriy qiymatlar berib noma’lumlarning mos qiymatlarini topamiz. Sistema cheksiz ko’p yechimga ega.