6-ma’ruza. Yigʻindi, koʻpaytma va boʻlinmaning hosilasi. Murakkab funksiyaning hosilasi. Teskari funksiyaning hosilasi Mavzu rejasi

3. Bo‘linmaning hosilasi.
3-teorema. Agar va funksiyalar nuqtada hosilaga ega, bo‘lsa, u holda ularning bo‘linmasi nuqtada hosilaga ega va
(3)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isbot.  bo‘lsa, u holda . Nisbatni quyidagicha yozib olamiz: . da limitga o‘tamiz, limitga ega funksiyalarning xossalari va 13-teorema isbotidagi kabi tenglikdan foydalansak, natijaga erishamiz, ya’ni (3) formula o‘rinli ekan. 
1-misol. Ushbu funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. . Demak,
4. Murakkab funksiyaning hosilasi. Aytaylik, funksiya intervalda, funksiya esa da aniqlangan bo‘lib, bu funksiyalar yordamida murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin (bunda, albatta, da bo‘lishi talab qilinadi).
1-teorema. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega, funksiya esa nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda murakkab funksiya x nuqtada hosilaga ega va
(1)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isbot.  funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lganligi uchun uning nuqtadagi orttirmasini
(2)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda da .
Shunga o‘xshash, funksiyaning u nuqtadagi orttirmasini
(3)
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda da .
So‘ngi (3) tenglikdagi o‘rniga uning (2) tenglik bilan aniqlangan ifodasini qo‘yamiz. Natijada tenglikka ega bo‘lamiz.
Agar bo‘lsa, (2) tenglikdan va bo‘lishi, agar bo‘lsa, u holda (3) tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa da cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni bilan belgilaymiz.
Shunday qilib, tenglik o‘rinli. Bundan va o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa ekanligini isbotlaydi. 