6-Mavzu: Labachevskiy fazosida to’g’ri chiziq va tekisliklarning o’zaro joylashuvi

6-Mavzu: Labachevskiy fazosida to’g’ri chiziq va tekisliklarning o’zaro joylashuvi.

Umar Xayyom-Sakkeri-Lejandrning birinchi teoremasi. Istagan uchburchak burchaklarining yigʻindisi 2d dan katta boʻlishi mumkin emas.
Eslatma. a kesma qanday kichik boʻlsada, munosib n sonni olib, a ni har vaqt qoʻshiluchi sifatida n marta takrorlash mumkinki, na yigʻindi, oldindan berilgan b kesmadan katta kesmani beradi. Bu jumla, Arximed — Evdoks aksiomasi deyiladi.
Xullas, uchburchak burchaklarining yigʻindisi 2d dan katta degan faraz, Arximed — Evdoks aksiomasiga ziddir.
Umar Xayyom-Sakkeri-Lejandrning ikkinchi teoremasi. Agar beril- gan biror uchburchakda burchaklarning yigʻindisi 2d ga teng boʻlsa, har qanday uchburchakda ham burchaklarning yigʻindisi 2d ga tengdir.
Umar Xayyom-Sakkeri-Lejandrning uchinchi teoremasi. Agar biror uchburchak burchaklarining yigʻindisi 2d dan kichik boʻlsa, bu yigʻindi har qanday uchburchak uchun ham 2d dan kichikdir.

Pash postulati.

Elementar geometriya kitoblarida bu intuitiv jumladan gʻayrioshkor ravishda foydalanilsada, uni eslatib oʻtilmaydi.
Bu postulat quyidagicha ifoda qilinadi: Agar ABC uchburchak va uning uchlaridan oʻtmaydigan hamda uchburchak tomonlarining biri bilan ikki uch orasida kesishadigan a toʻgʻri chiziq berilgan boʻlsa, bu toʻgʻri chiziq uchburchakning boʻlgan ikki tomonidan biri bilan yana ikki uch orasidagi nuqtada muqarrar kesishadi (5-chizma).

5-chizma
Zarur boʻlgan bu aksiomani biz kelgusida tez-tez ishlatib turamiz. Uning muhimligini XIX asrning ohirida Pash kzrsatib berdi. Biz postulat soʻzini aksioma ma'nosida tushunamiz.

Ikki burchagi toʻgʻri boʻlgan toʻrtburchak va uning xossalari.

Bundan buyongʻi tadhiqotlar uchun burchagi toʻgʻri boʻlgan mahsus koʻrinishli toʻrtburchak kerak boʻladi. Bu kabi toʻrtburchaklar koʻpincha ikkitoʻgʻriburchakli deb ataladi. Masalan, 6-chizmada tasvirlangan ABDC toʻrtburchak shunday uning A va V burchaklari — toʻgʻri burchaklar. Bunday toʻrtburchaklarning quyidagi hossalarini isbot qilamiz.
1°. Agar ikki toʻgʻri burchakli toʻrtburchakda BD>AC boʻlsa, γ>δ boʻladi. Bu teoremani koʻzda tutib, biz koʻpincha „katta tomon qarshisida kattaburchak yotadi” deb ataymiz.
Isbot. BD tomonda shunday E nuqtani olamizki, BEqAC boʻlsin. E nuqta D bilan B orasiga tushadn. C ni E bilan tutashtirsak, A va B burchaklari toʻgʻri, AC va BE bilan belgilangan. yon tomonlari bir-biriga teng ABEC toʻrtburchak hosil boʻladi. Bunday toʻrtburchak Sakkeri toʻrtburchagi deyiladi. Sakkeri toʻrtburchagining yuqori asosidagi burchaklarining bir biriga tengligini biz keyinroq koʻrarmiz. Shu xossaga asoslanib, davoni isbot qilamiz: γ>ACE=BEC<δ (CE nurning γ burchak ichidan ketgani sababli, BEC burchak δ dan kichikdir; CED uchburchak uchun olingan tashqi burchak haqidagi teoremaga asosan, BEC burchak δ dan katta).

6-chizma
Sakkeri toʻrtburchagi. Oldingi teoremani isbotlashda Sakkeri toʻrt- burchagining bir xossasiga biz asoslandi. Hozir biz bu xossani isbot qilamiz va yoʻlakay Sakkeri toʻrtburchagining yana bir necha muhim xossasini chiqaramiz. Sakkeri toʻrtburchagi ABDC, yani A va B burchaklari toʻgʻri, yon tomonlari AC va BD bir-biriga teng toʻrtburchak berilgan boʻlsin. Yuqori asosdagi C va D burchaklarning bir-biriga tengligini isbot qilaylik (7-chizma).

7-chizma 8-chizma
Isbot. AB ning teng oʻrtasini belgilovchi P nuqtadan AB ga perpen- dikulyar chiqaramiz. Bu perpendikulyar CD tomon bilan C va D nunqtalar orasida kesishadi. Bu faktning juda ham ravshanligiga qaramay, uni isbotlash zarurdir. Pash aksiomasidan foydalanib bu isbotni hosil qilish oson. AD diagonalni oʻtkazib, Pash aksiomasini ABD uchburchak va P bilan belgilangan perpendikulyarga nisbatan qoʻllaymiz. P toʻgʻri chiziq AB tomon bilan va A orasidagi P nuqtada kesishadi.
Demak, P yo AD bilan, yoki BD bilan kesishadi. (7-chizma). Lekin, BD bilan kesishaolmaydi, chunki bir toʻgʻri chiziqqa oʻtkazilgan ikki perpendikulyar kesishmaydi. Xullas, P toʻgʻri chiziq BD bilan kesishmaydi va shu sababli, D nuqtadan oʻtmaydi. (Shu singari, u C nuqtadan ham oʻtmaydi). Demak, Pash aksiomasiga koʻra, P toʻgʻri chiziq AD bilan A va D nuqtalar orasidagi nuqtada kesishadi. Xuddi shu singari, P toʻgʻri chiziq ACD uchburchakning AC tomoni bilan kesishmaydi va CD tomon bilan C va D orasidagi Q nuqtada kesishadi. Q ni A va B bilan tutashtiraylik, APQ uchburchak BPQ uchburchakka kongruentdir, chunki ularning katetlari tengdir (8-chizma).
Demak, AQ=BQ bundan esa, CAQ , DBQ uchburchaklar bir biriga kongruent degan xulosa chisadi, chunki ulardan birinint ikki tomoni, ikkinchisining ikki tomoniga mos ravishda teng va bu tomonar orasidagi burchaklar tengdir. Shuning uchun C burchak D burchakka teng, yani Sakkeri toʻrtburchagida yuqori asosdagi burchaklar oʻzaro tengdir, shuni isbotlash kerak edi.
Shhunday qilib biz ushbuni isbot qildik:
2°. PQ perpendikulyar yuqori asos bilap ham toʻgri burchak ostida kesishadi va kesilish nuqtasi Q, yuqori asosni teng ikkiga boʻladi.
E s l a t m a . Sakkeri toʻrgburchagining xossalarini chiqarishda, bir toʻgʻri chiziqqa oʻtkazilgan ikki perpendikulyarning kesishmasligidan foydalandik. Uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teoremadan foydalanib buni isbotlash mumkin, chunki bu perpendikulyarlar kesishgan holda uchburchakning tashqi burchagi oʻziga qoʻshni boʻlmagan ichki burchakka teng boʻlar edi, buning esa boʻlishi mumkin emas. Demak, parallellar haqidagi aksiomalardan foydalanmasdan turib, Sakkeri toʻrtburchagining yuqory asosidagi burchaklarining tengligini isbotladik. Biroq ularning ikkalasining ham toʻgʻri yoki oʻtkir burchaklardan iborat boʻlishi toʻgʻrisida parallellar aksiomasini kiritmasdan hech narsa ayta olmaymiz buni biz keyinroq tushunarmiz. Lekin bu burchaklarning oʻtmas boʻla olmasligini parallellar nazariyasiga asoslanmasdan isbotlash mumkin. Hakikatan, agar C va D burchaklar oʻtmas boʻlsa, ACD va BAD uchburchaklarning birida burchaklar yigʻindisi 2d dan katta boʻlar edi, chunki bu uchburchaklardagi hamma burchaklarning yigʻindisi 4d dan kattadir. Lekin uchburchak burchaklarining yigʻindisi 2d dan katta boʻlishi mumkin emas; demak bir-biriga teng C va D burchaklar oʻtmas boʻla olmaydi.
Parallellar nazariyasiga asoslanmasdan isbot qilinadigan va bundan buyon bizga kerak boʻlgan teoremalar ana shulardan iborat.

Uchburchak burchaklarining yigʻindisi 2d ga teng degan tasdiq Evklid postulatiga teng kuchlidir.

Agar biror uchburchak burchaklarining yigʻindisi 2d ga teng degan tasdiqni isbotsiz qabul qilsak, parallellar toʻgʻrisidagi aksiomani isbotlash mumkin boʻladi.

Lemma. Agar a va AM toʻgʻri chiziqlar (A nuqta a da yotmaydi, M nuqta esa — a da yotadi) berilgan boʻlsa, A nuqtani quzgʻatmasdan M nuqtani a toʻgʻri chiziq boʻyicha shu qadar uzoqqa kuchirish mumkinki, a burchak (11- chizma) oldin berilgan α>0 burchakdan kichik boʻladi; yoki boshqacha aytganda, M nuqtaning a boʻylab, masalan oʻng tomonga, cheksiz uzoqlashib borishi bilan, α burchak 0 ga intiladi.

11. 
    chizma