6-m’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar uchun asosiy teoremalar
Download 211.26 Kb. Pdf ko'rish
|
6- маър Ролл Лагранж теор
- Bu sahifa navigatsiya:
- Tayanch so’z va iboralar
- 1-teorema (Roll teoremasi).
- 2-teorema (Lagranj teoremasi).
- Lagranj formulasi
- 1-masala
- O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar
- Mustaqil ishlash uchun misollar
6-m’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar uchun asosiy teoremalar Reja:
1. Roll` teoremasi. 2. Lagranj teoremasi. 3. Koshi teoremasi.
o‘rta qiymat, Lagranj formulasi, Lagranjning chekli orttirmalar formulasi, Koshi formulasi, Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasi, Differensiallanuvchi funksiyalarning xususiyatlarini ochib beruvchi va ularni tekshirishda muhim ahamiyatga ega bo’lgan ba’zi teoremalar bilan tanishib chiqamiz.
funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar funksiya intervalda differensiallanuvchi bo’lib, tenglik o’rinli bo’lsa, u holda intervalga tegishli hech bo’lmaganda bitta shunday nuqta topiladiki, unda bo’ladi. Teoremani geometrik izohlaydigan bo’lsak, teorema shartlari bajarilganda, funksiya grafigining yoyiga tegishli bo’lgan hech bo’lmaganda bitta nuqta (1–rasmda ikkita va
nuqtalar) topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o’tkazilgan urinma abssissalar o’qiga parallel bo’ladi. Teoremaning har bir sharti muhim ahamiyatga ega. Chunki ulardan biri bajarilmasa, intervalda tenglikni qanoatlantiruvchi nuqta
topilmasligi mumkin.
) (x f y b a; ; a b ) ( ) (
f a f ;
c ( )
0 f c ) (x f y
D E Ox ; a b 0 ) ( ' c f c
1-rasm. 2-rasm 3-rasm.
Masalan, 2–rasmda grafigi keltirilgan funksiya uchun uzluksizlik sharti bajarilmagan, nuqta uning uzilish nuqtasi. Shu sababli tenglikni qanoatlantiruvchi nuqta topilmaydi. 3–rasmda tasvirlangan funksiya uchun esa uning differensiallanuvchi sharti bajarilmagan, ya’ni nuqtada funksiya hosilaga ega emas. Demak, nuqtada bu egri chiziqqa urinma o’tkazib bo’lmaydi. Bu egri chiziqlarga tegishli va interval doirasida urinmalari
o’qiga parallel bo’ladigan biror-bir nuqta mavjud emas. 2-teorema (Lagranj teoremasi). Agar funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, intervalda differensiallanuvchi bo’lsa, u holda intervalga tegishli kamida bitta shunday nuqta topiladiki, uning uchun
munosabat o’rinli bo’ladi. Lagranj teoremasida Roll teoremasidagidek, funksiyadan kesmaning chetki nuqtalarida teng qiymatlarga erishishi talab qilinmaydi. Bu teoremadan, xususan, holda, ekanligi kelib chiqadi, shu ma’noda Lagranj teoremasi Roll teoremasining umumlashmasi hisoblanadi. Teoremani geometrik izohlaydigan bo’lsak, uning har bir sharti o’rinli bo’lganda, funksiya grafigining yoyga tegishli hech bo’lmaganda
1
b x O a 2
b x 1
0 )
'
f c 2
2
; a b Ox ( )
y f x b a;
b a;
b a; c ( )
( ) '( )(
) f b f a f c b a [ ; ]
a b ) ( ) (
f a f 0 ) ( ' c f ) (x f y
bitta (4 – rasmda ikkita va
nuqta topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o’tkazilgan urinma vatarga parallel bo’ladi.
4-rasm.
Agar
almashtirish kiritsak,
nuqtani ko’rinishda ifodalash mumkin. Agar bu almashtirish e’tiborga olinsa, Lagranj formulasi
shaklda yoziladi va unga Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi. 3-teorema (Koshi teoremasi). Agar va
funksiyalar
kesmada uzluksiz va intervalda chekli va
hosilaga ega bo’lib ( )
0 g x , bo’lsa, u holda kamida bitta shunday nuqta topiladiki (2) tenglik o’rinli bo’ladi. Bu formula Koshi formulasi deyiladi. Lagranj formulasi Koshi formulasining xususiy holi bo’lib, Koshi formulasida bo’lsa, Lagranj formulasi hosil bo’ladi. D )
AB y E B A O a 1
2
c 0;1 c a b a a x
x x a f a f x a f ) ( ' ) ( ) ( ) (x f ) (x g [ ; ]
a b
b a; ) ( ' x f ) ( ' x g
; x a b ; c a b c g c f a g b g a f b f ' ' ) ( ) ( ) ( ) (
x g ) ( 1-masala. 1) va
funksiyalar uchun
kesmada Koshi teoremasi shartlari bajarilishini tekshiring va nuqtani toping. Yechimi. kesmada va funksiyalar uzluksiz va chekli hosilalar mavjud.
,
O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar 1. Differensiallanuvchi funksiya uchun o‘rta qiymat haqidagi Roll teoremasini bayon qiling va uning geometrik ma‘nosini izohlang. 2. O‘rta qiymat haqidagi Lagranj teoremasi nimani tasdiqlaydi va teoremaning 3. geometrik ma‘nosini chaqing. 4. Lagranjning chekli orttirmalar formulasini yozing. 5. Roll teoremasi Lagranj teoremasining xususiy holi deyish mumkinmi va nima uchun?
6. Koshi formulasini yozing va xususiy hol sifatida Lagranj formulasini hosil qiling. 7. Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasini yozing va uni 8. Lagranjning chekli orttirmalar formulasi bilan solishtiring.
1. Roll teoremasi tasdig’ini quyidagi kesmalarda berilgan funksiyalar uchun tekshirib ko’ring: a)
b)
c) d)
2. Lagranj teoremasi tasdig’ini quyidagi kesmalarda berilgan funksiyalar uchun tekshirib ko’ring: a) b)
2 ) ( 2 x x f 1 ) ( 3 x x g
2 ; 1 c
2 ; 1 ) (x f ) (x g
' 2 ,
f x x 2 '( ) 3 0 g x x ( ) 6, ( ) 3; ( )
7, ( ) 0
f a g b g a 2 3 2 14 9 14 . 7 3 9 c c c
; 8 3 : 2 ; 1 2 x x y ; cos
log : 3 ; 3 2 x y ; : ; 0 sin x e y . 6 7 4 : 2 ; 1 2 3
x x y
; : 3 ; 0 2 x y 2 ; : ln . e e y x 3. Quyidagi funksiyalar uchun berilgan kesmalarda Lagranj formulasini yozing: a) b)
4.
kesmada Koshi formulasini yozing va ni
aniqlang. 5.
va larning farqi dan ortiq yemasligini ko’rsating.
; ; , 2 sin
y . 1 ; 1 , ln x x x x y 2 ; 0 , cos
) ( , sin ) ( x x g x x f c ) sin( h cos sin h 2 2 1
Download 211.26 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling