6-m’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar uchun asosiy teoremalar

6-m’ruza. 

Differensiallanuvchi funksiyalar uchun asosiy teoremalar 

Reja:  

1.  Roll` teoremasi. 

2.  Lagranj teoremasi. 

3.  Koshi teoremasi. 

Tayanch  so’z  va  iboralar:

 

o‘rta  qiymat,  Lagranj  formulasi,  Lagranjning 

chekli  orttirmalar  formulasi,  Koshi    formulasi,  Lagranjning  umumlashma  chekli  

orttirmalar  formulasi,  

Differensiallanuvchi  funksiyalarning  xususiyatlarini  ochib  beruvchi  va 

ularni tekshirishda muhim ahamiyatga ega bo’lgan ba’zi teoremalar bilan tanishib 

chiqamiz. 

1-teorema  (Roll  teoremasi). 

  funksiya 

  kesmada  aniqlangan 

va  uzluksiz  bo’lsin.  Agar  funksiya 

  intervalda  differensiallanuvchi  bo’lib, 

  tenglik  o’rinli  bo’lsa,  u  holda 

  intervalga  tegishli  hech 

bo’lmaganda bitta shunday   nuqta topiladiki, unda 

 bo’ladi. 

Teoremani  geometrik  izohlaydigan  bo’lsak,  teorema  shartlari  bajarilganda, 

 funksiya grafigining 

 yoyiga tegishli bo’lgan hech bo’lmaganda bitta 

nuqta  (1–rasmda  ikkita 

  va 

  nuqtalar)  topiladiki,  chiziqning  shu  nuqtasiga 

o’tkazilgan urinma 

 abssissalar o’qiga parallel bo’ladi.  

Teoremaning  har  bir  sharti  muhim  ahamiyatga  ega.  Chunki  ulardan  biri 

bajarilmasa, 

  intervalda 

  tenglikni  qanoatlantiruvchi 

  nuqta 

topilmasligi mumkin.  

 

 

 

 

 

 

)

(x

f

y



 

b

a;





;

a b

)

(

)

(

b

f

a

f







;

a b

c

( )

0

f c





)

(x

f

y



AB

D

E

Ox





;

a b

0

)

(

'



c

f

c

 

 

              

                                                                           

 

 

           

                     

                     

                  

 

                  

 

                                

 

  

                                        

                

                 

          

           

               1-rasm.                             2-rasm                         3-rasm.  

 

Masalan,  2–rasmda  grafigi  keltirilgan  funksiya  uchun  uzluksizlik  sharti 

bajarilmagan, 

  nuqta  uning  uzilish  nuqtasi.  Shu  sababli 

  tenglikni 

qanoatlantiruvchi    nuqta  topilmaydi.  3–rasmda  tasvirlangan  funksiya  uchun  esa 

uning differensiallanuvchi sharti bajarilmagan, ya’ni 

 nuqtada funksiya hosilaga 

ega emas. Demak, 

 nuqtada bu egri chiziqqa urinma o’tkazib bo’lmaydi. 

Bu  egri  chiziqlarga  tegishli  va 

  interval  doirasida  urinmalari 

 

o’qiga parallel bo’ladigan biror-bir nuqta mavjud emas. 

2-teorema  (Lagranj  teoremasi).  Agar 

  funksiya 

  kesmada 

aniqlangan va uzluksiz bo’lib, 

 intervalda differensiallanuvchi bo’lsa, u holda 

 intervalga tegishli kamida bitta shunday   nuqta topiladiki, uning uchun 

                

  

munosabat o’rinli bo’ladi. 

Lagranj  teoremasida  Roll  teoremasidagidek,  funksiyadan 

  kesmaning 

chetki  nuqtalarida  teng  qiymatlarga  erishishi  talab  qilinmaydi.  Bu  teoremadan, 

xususan, 

  holda, 

  ekanligi  kelib  chiqadi,  shu  ma’noda 

Lagranj teoremasi Roll teoremasining umumlashmasi hisoblanadi.  

Teoremani  geometrik  izohlaydigan  bo’lsak,  uning  har  bir  sharti  o’rinli 

bo’lganda, 

  funksiya  grafigining 

  yoyga  tegishli  hech  bo’lmaganda 

y

D

y

y

A

B

A

B

A

B

E

O

a

b

x

O

a

1

a

b

x

O

a

2

a

b x

1

a

0

)

(

'



c

f

c

2

a

2

a





;

a b

Ox

( )

y

f x



 

b

a;

 

b

a;

 

b

a;

c

( )

( )

'( )(

)

f b

f a

f c b

a







[ ; ]

a b

)

(

)

(

b

f

a

f



0

)

(

'



c

f

)

(x

f

y



AB

bitta  (4  –  rasmda  ikkita 

  va 

  nuqta  topiladiki,  chiziqning  shu  nuqtasiga 

o’tkazilgan urinma 

 vatarga parallel bo’ladi. 

                                                   

 

 

                

 

 

 

 

 

 

 

                   

                             

                                            

 

4-rasm. 

Agar 

 

almashtirish 

kiritsak, 

 

nuqtani 

  ko’rinishda  ifodalash  mumkin.  Agar  bu 

almashtirish e’tiborga olinsa, Lagranj formulasi 

 

 

(1) 

shaklda yoziladi va unga Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi. 

3-teorema  (Koshi  teoremasi).  Agar 

  va 

  funksiyalar 

 

kesmada  uzluksiz  va 

  intervalda  chekli 

  va 

  hosilaga  ega  bo’lib 

( )

0

g x





, 

  bo’lsa,  u  holda  kamida  bitta  shunday 

  nuqta 

topiladiki  

                                                         (2) 

tenglik o’rinli bo’ladi.  

Bu formula Koshi  formulasi  deyiladi. 

Lagranj  formulasi  Koshi  formulasining  xususiy  holi  bo’lib,  Koshi 

formulasida 

 bo’lsa, Lagranj formulasi hosil bo’ladi. 

D

)

E

AB

y

E

B

A

O a

1

c

2

c

b

x

D

x

a

b







c





 





0;1

c

a

b a

a

x







 



  



x

x

a

f

a

f

x

a

f















)

(

'

)

(

)

(



)

(x

f

)

(x

g

[ ; ]

a b

 

b

a;

)

(

' x

f

)

(

' x

g

 

;

x

a b



 

;

c

a b



 

 

c

g

c

f

a

g

b

g

a

f

b

f

'

'

)

(

)

(

)

(

)

(







x

x

g



)

(

1-masala.  1)

  va 

    funksiyalar  uchun 

 

kesmada Koshi  teoremasi  shartlari bajarilishini tekshiring va   nuqtani toping. 

Yechimi. 

 kesmada 

 va 

 funksiyalar uzluksiz va 

 

 chekli hosilalar mavjud. 

 

, 

 

 

O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar 

1.  Differensiallanuvchi funksiya uchun o‘rta qiymat haqidagi Roll teoremasini  

bayon qiling va uning geometrik ma‘nosini izohlang. 

2.  O‘rta qiymat haqidagi Lagranj teoremasi nimani tasdiqlaydi va teoremaning  

3.  geometrik ma‘nosini chaqing. 

4.  Lagranjning chekli orttirmalar formulasini yozing. 

5.  Roll teoremasi Lagranj teoremasining xususiy holi deyish mumkinmi va nima   

uchun? 

6.  Koshi  formulasini yozing va xususiy hol  sifatida  Lagranj formulasini hosil 

qiling.     

7.  Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasini yozing va uni  

8.  Lagranjning chekli orttirmalar formulasi bilan solishtiring. 

 

Mustaqil ishlash uchun misollar 

1.  Roll teoremasi tasdig’ini quyidagi kesmalarda berilgan funksiyalar uchun tekshirib 

ko’ring: 

a) 

 b) 

 

c) 

 d) 

 

2.  Lagranj  teoremasi  tasdig’ini  quyidagi  kesmalarda  berilgan  funksiyalar  uchun 

tekshirib ko’ring: a) 

 b) 

 

2

)

(

2





x

x

f

1

)

(

3





x

x

g

 

2

;

1

c

 

2

;

1

)

(x

f

)

(x

g

 

'

2 ,

f

x

x



2

'( )

3

0

g x

x





( )

6,

( )

3;

( )

7, ( )

0

f b

f a

g b

g a









2

3

2

14

9

14

.

7

3

9

c

c

c







 

 

;

8

3

:

2

;

1

2







x

x

y





;

cos

log

:

3

;

3

2

x

y









 

;

:

;

0

sin x

e

y









.

6

7

4

:

2

;

1

2

3











x

x

x

y

 

;

:

3

;

0

2

x

y



2

;

:

ln .

e e

y

x











3.  Quyidagi  funksiyalar  uchun  berilgan  kesmalarda  Lagranj  formulasini  yozing:  a) 

 b) 

 

4. 

  kesmada  Koshi  formulasini  yozing  va 

  ni 

aniqlang. 

5. 

 va 

 larning  farqi 

 dan ortiq   yemasligini ko’rsating. 

 

 

 





;

;

,

2

sin





x

y







.

1

;

1

,

ln

x

x

x

x

y























2

;

0

,

cos

)

(

,

sin

)

(



x

x

g

x

x

f

c

)

sin(

h









cos

sin

h



2

2

1

h