60-odd years of moscow mathematical

Tour 14.2
Grades 7 − 8
14.2.7-8.1. Prove that the number 1 00 . . . 00
| {z }
49 zeroes
5 00 . . . 00
| {z }
99 zeroes
1 is not the cube of any integer.
14.2.7-8.2*. On a plane, given points A, B, C and angles ∠D, ∠E, ∠F each less than 180
◦
and the
sum equal to 360
◦
, construct with the help of ruler and protractor a point O such that ∠AOB = ∠D,
∠BOC = ∠E and ∠COA = ∠F .
14.2.7-8.3. Prove that the sum 1
3
+ 2
3
+ · · · + n
3
is a perfect square for all n.
14.2.7-8.4. What figure can the central projection of a triangle be? (The center of the projection does
not lie on the plane of the triangle.)
14.2.7-8.5. To prepare for an Olympiad 20 students went to a coach. The coach gave them 20 problems
and it turned out that (a) each of the students solved two problems and (b) each problem was solved by two
students. Prove that it is possible to organize the coaching so that each student would discuss one of the
problems that (s)he had solved, and so that all problems would be discussed.
14.2.7-8.6. Dividing x
1951
− 1 by P (x) = x
4
+ x
3
+ 2x
2
+ x + 1 one gets a quotient and a remainder.
Find the coefficient of x
14
in the quotient.
Grades 9 − 10
14.2.9-10.1. A sphere is inscribed in an n-angled pyramid. Prove that if we align all side faces of the
pyramid with the base plane, flipping them around the corresponding edges of the base, then (1) all tangent
points of these faces to the sphere would coincide with one point, H, and (2) the vertices of the faces would
lie on a circle centered at H.

---

OLYMPIAD 15 (1952)
39
14.2.9-10.2*. Given several numbers each of which is less than 1951 and the least common multiple of
any two of which is greater than 1951. Prove that the sum of their reciprocals is less than 2.
14.2.9-10.3. Among all orthogonal projections of a regular tetrahedron to all possible planes, find the
projection of the greatest area.
14.2.9-10.4. Consider a curve with the following property: inside the curve one can move an inscribed
equilateral triangle so that each vertex of the triangle moves along the curve and draws the whole curve.
Clearly, every circle possesses the property. Find a closed planar curve without self-intersections, that has
the property but is not a circle.
14.2.9-10.5*. A bus route has 14 stops (counting the first and the last). A bus cannot carry more than
25 passengers. We assume that a passenger takes a bus from A to B if (s)he enters the bus at A and gets
off at B. Prove that for any bus route
a) there are 8 distinct stops A
1
, B
1
, A
2
, B
2
, A
3
, B
3
, A
4
, B
4
such that
no passenger rides from A
k
to B
k
for all k = 1, 2, 3, 4;
(∗)
b) there might not exist 10 distinct stops A
1
, B
1
, . . . , A
5
, B
5
with property (∗).
Olympiad 15 (1952)
Tour 15.1
Grade 7
15.1.7.1. The circle is inscribed in 4ABC. Let L, M , N be the tangent points of the circle with sides
AB, AC, BC, respectively. Prove that ∠M LN is always an acute angle.
15.1.7.2. Prove the identity:
(ax + by + cz)
2
+ (bx + cy + az)
2
+ (cx + ay + bz)
2
=
(cx + by + az)
2
+ (bx + ay + cz)
2
+ (ax + cy + bz)
2
.
15.1.7.3. Prove that if all faces of a parallelepiped are equal parallelograms, they are rhombuses.
15.1.7.4. See Problem 15.1.8.2 below. When should the girl C leave N for A and B to arrive simulta-
neously in N ?
Grade 8
15.1.8.1. Prove that if the orthocenter divides all hights of a triangle in the same proportion, the triangle
is equilateral.
15.1.8.2. Two men, A and B, set out from town M to town N , which is 15 km away. Their walking speed
is 6 km/hr. They also have a bicycle which they can ride at 15 km/hr. Both A and B start simultaneously,