60-odd years of moscow mathematical

---

60-odd YEARS of
MOSCOW MATHEMATICAL
OLYMPIADS
Edited by D. Leites
Compilation and solutions by G. Galperin and A. Tolpygo
with assistance of
P. Grozman, A. Shapovalov and V. Prasolov
and with drawings by
A. Fomenko
Translated from the Russian by D. Leites
Computer-drawn figures by
Version of May 10, 1997. Stockholm
i

---

ii
PROBLEMS
Abstract
Nowadays, in the time when the level of teaching universally decreases and “pure” science does not
appeal as it used to, this book can attract new students to mathematics.
The book can be useful to all teachers and instructors heading optional courses and mathematical groups.
It might interest university students or even scientists.
But it was primarily intended for high school students who like mathematics (even for those who,
perhaps, are unaware of it yet) and to their teachers. The complete answers to all problems will facilitate
the latter to coach the former.
The book also contains some history of Moscow Mathematical Olympiads and reflections on mathemat-
ical olympiads and mathematical education in the Soviet Union (the experience that might be of help to
western teachers and students). A relation of some of the problems to “serious” mathematics is mentioned.
The book contains more than all the problems with complete solutions of Moscow Mathematical Olympiads
starting from their beginning: some problems are solved under more general assumptions than planned dur-
ing the Olympiad; there extensions are sometimes indicated. Besides, there are added about a hundred
selected problems of mathematical circles (also with solutions) used for coaching before Olympiads.
The Moscow Mathematical Olympiad was less known outside Russia than the “All-Union” (i.e., National,
the USSR), or the International Olympiad but the problems it offers are on the whole rather more difficult
and, therefore, it was more prestigious to win at. In Russia, where sports and mathematics are taken
seriously, more than 1,000,000 copies of an abridged version of a part of this book has been sold in one year.
This is the first book which contains complete solutions to all these problems (unless a hint is ample, in
which case it is dutifully given).
The abriged Russian version of the book was complied by Gregory Galperin, one of the authors of a
great part of the problems offered at Moscow Mathematical Olympiads (an expert in setting olympiad-type
problems) and Alexei Tolpygo, a former winner of the Moscow, National and International Olympiads
(an expert in solving mathematical problems). For this complete English edition Pavel Grozman and
Alexander Shapovalov (a first and a third prize winners at the 1973 and 1972 International Mathematical
Olympiads, respectively) wrote about 200 new solutions each.
The book is illustrated by Anatoly Fomenko, Corresponding Member of the Russian Academy of
Sciences, Professor of Mathematics of Moscow University. Fomenko is very well known for his drawings and
paintings illustrating the wonders of math.
Figures are sketched under supervision of Victor Prasolov, Reader at the Independent University
of Moscow. He is well-known as the author of several amazingly popular books on planimetry and solid
geometry for high-school students.
From I.M. Yaglom’s “Problems, Problems, Problems. History and Contemporaneity”
(a review of MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS
compiled by G. Galperin and A. Tolpygo)
The oldest of the USSR Math Olympiads is the Leningrad High-school Olympiad launched in 1934 (the
Moscow Math Olympiad runs since 1935). Still, for all these years the “most main” olympiad in the country
was traditionally and actually the Moscow Math Olympiad. Visits of students from other towns started
the expansion of the range of the Moscow Math Olympiad to the whole country, and, later, to the whole
Earth: as International Olympiads.
More than half-a-century-long history of MMO is a good deal of the history of the Soviet high school,
history of mathematical education and interactive work with students interested in mathematics. It is
amazing to trace how the level of difficulty of the problems and even their nature changed with time: problems
of the first Olympiads are of the “standard-schoolish” nature (cf. Problems 1.2.B.2, 2.2.1, 3.1.1 and 4.2.3)
whereas even the plot of the problems of later olympiads is often a thriller with cops and robbers, wandering
knights and dragons, apes and lions, alchemists and giants, lots of kids engaged in strange activities, with
just few quadratics or standard problems with triangles.
Problems from the book compiled by Galperin and Tolpygo constitute a rare collection of the long work
of a huge number of mathematicians of several generations; the creative potential of the (mainly anonymous)
authors manifests itself in a live connection of many of the olympiads’ problems with current ideas of modern

---

PROBLEMS, PROBLEMS, PROBLEMS. HISTORY AND CONTEMPORANEITY
iii
Mathematics. The abundance of problems associated with games people play, various schemes described by
a finite set, or an array of numbers, or a plot, with only qualitative features being of importance, mirrors
certain general trends of the modern mathematics.
Several problems in this book have paradoxical answers which contradict the “natural” expectations, cf.
Problems 13.1.9-10.2, 24.1.8.2, 32.7.3, 38.1.10.5, 44.7.3, and Problems 32.9.4 and 38.2.9.19 (make notice also
of auxiliary queries in Hints!).

---

iv
PROBLEMS

---

Contents
Abstract
ii
Problems, Problems, Problems. History and Contemporaneity
ii
Preface
1
Forewords
4
Academician A. N. Kolmogorov’s foreword to [GT]
7