60-odd years of moscow mathematical

golden years of Moscow mathematics, AMS, Providence, 1993.
There were several features that distinguished mathematical circles and mathematical olympiads. The
better ones were almost free of official bureaucratic supervision: all circles, olympiads, even regular lectures
at mathematical schools (a lot of hours!) were organized by volunteers who often worked “the second shift”
gratis for weeks or years (sic!); their only reward being moral satisfaction. There was freedom of dress code,
possibility for children to address the leader of a circle, a Professor, by the first name (unheard of at regular
schools), and the possibility for students who ran the circles and olympiads to ridicule the governing Rules
in problems, without endangering the whole enterprise, by sticking the head out too far.
One of the problems (32.2.9.4 on “democratic elections”) was even published recently in a political
magazin Vek XX i mir (20-th Century and the World, no. 10, 1991) with a discussion of its timelyness and
realistic nature.
We should realize, however, that graduates of mathematical schools, though freer in thinking, were often
handicapped by overestimation of professional (especially mathematical) skills of a person as opposed to
humane qualities.
*
*
*
This compilation seemingly exhausts the topic: problems of the 70’s are often more difficult than inter-
esting; owing to the general lack of resources Moscow Mathematical Olympiads became less popular. About
15 years ago similar lack of enthusiasm gripped famous Moscow mathematical schools. A way to revitalize
mathematical education was suggested by one of the principal organizers of Moscow mathematical schools,
Nikolaj Nikolaevich (Kolya) Konstantinov. It was similar to the most effective modern scientific way of
getting rid of stafillacocus in maternity wards in our learned times: burn down the whole damned house.
Konstantinov organized several totally new mathematical schools and a so-called Tournament of Towns (as
a rival to counterbalance the Olympiads). The tournament became an international event several years ago;
for the first collection see [T].
*
*
*
1
This story was published during an abortive thaw in 60’s; its author was unable to publish since.

---

PREFACE
3
I thank those who helped me: I. Bernstein, L. Makar-Limanova and Ch. Devchand; V. Pyasetsky, V. Prasolov and
I. Shchepochkina. Pavel Grozman and Alexander Shapovalov had actually (re)written about 150 solutions each, Grozman
made about a 1000 clarifying comments.
I also thank N. N. Konstantinov who introduced me to mathematics.
Dimitry Leites
Stockholm University, Department of Mathematics, Roslagsv. 101, 106 91 Stockholm, Sweden

---

4
PREFACE
Forewords
Mainly for the teacher. The problems collected in this book were originally designed for a compe-
tition, that is, to be solved in five hours time during an Olympiad. Many mathematicians in Russia were
quite unhappy about this. They argued against this mixture of sport and science: many winners later did
not achieve nearly so much in their studies as in this really very specific kind of “mathematical sport”. Vice
versa, many people who could never succeed under stress proved later to be among the most talented and
productive. It is true also that real mathematics deals mostly with problems taking months and years, not
hours, to make a step forward.
Still, for many schoolchildren, the idea of a competition is very attractive, and they can take part just
for its sake and so discover how diverse and interesting Mathematics (not just math) can be. Afterwards one
can find a lot of more productive mathematical activities than competitions: reading mathematical books
is just one. But there should be the very first step, and Olympiads, as well as Olympiad style problems in
school mathematical clubs and such, help to make it.
One can use this book as the source of problems to organize an Olympiad-like competition on one’s
own, or for the group or individual studies. In Moscow the same group of the University
1
professors and
postgraduate students that launched the Olympiads (see Historical Remarks) also established a tradition of
“mathematical circles” — weekly gatherings of schoolchildren at the University, where they can attend a
lecture, solve some problems, report their progress and get advice. Many of the problems first proposed at
the Olympiad later became the “circles’ folklore” and taught several generations.
To use these problems in this way is probably much better, because it is up to a student to choose: either
to compete with others for the number of problems solved, or just to besiege a single difficult one. Thus,
different psychological types can be properly treated without hurting anybody. (A failure at the Olympiad
can be a cause for a grave psychological disturbance in the whole future life.)
Some problems are tremendously difficult
2
; only few individuals could solve such problems. As you may
learn from Historical Remarks, there were several problems with not a single correct solution presented to
the Organizing Committee (while the Committee only knew a wrong solution). Therefore, never mind if you
try to crack some of these hard nuts and fail: so did many others. Try it again later or look up Solutions:
perhaps you just misunderstood the formulation. Just do not try a new problem on your pupils before
examining it yourself properly: it may save a teacher a lot of trouble.
You may encounter some difficulties trying to explain solutions to your pupils due to the curriculum
differences in the U.S. and S.U. You can find feeble consolation in the fact that your colleagues in Russia
experience the same difficulties: three more or less radical reforms have passed since the first Olympiad, and
the fourth catastrophe is in progress. However, the authors tried to use wherever possible only “elementary”
mathematics in solutions, though throwing in a little Calculus could have made it much easier.
We hope that the spirit of the Moscow Mathematical Olympiads will remain the same and that for many
years to come there will be ringing voices of teenagers in the rooms of Moscow University and questions will
be asked again: “When will the next Olympiad be held?”
3
1
M. V. Lomonosov Moscow University is, or rather was before the mass emigration of the ’80s, for the USSR more than
what Princeton and Harvard combined are for the USA, at least as regards mathematics. Mathematics was also well taught
in some of Moscow Institutes but the study there was handicapped by the red tape and the general lack of the “air”. At
the moment the major part of Institutes in Moscow and larger cities are renamed into “universities”, but still The University
remains outstanding.
2
Sometimes so much so that even after 9 years of editing and re-editing, nobody knew the answers; to a couple of problems
we only knew a wrong answer. All this, together with the correct answers became clear when Pavel Grozman, a First prize
winner at the 1973 International Mathematical Olympiad lent a hand. Several mistakes (with corrections) were discovered by
A. Shapovalov, V. Prasolov and V. Pyasetsky.
3
Or, rather, more usual “Will we be allowed to eat during the Olympiad?”

---

Foreword for students
5
Mainly for students. This book may be useful for you in your studies and it may be an entertainment.
It may sound curious for those who know only usual text-books but a lot of students of your age get a
lot of fun just solving mathematical problems. To feel this joy for the first time, one usually has to taste
something very different from the common kind of school algebra and geometry.
The authors of the problems collected here tried their best not to be boring or scholastic; they prefered
rather to be mocking and ridiculing.
There is a lot of good sense in these problems, too. School mathematics is usually formulated in a very
specific “scientific” (pseudo-scientific far too often) way. You can recognize a school manual phrase in a
hundred. But, in real life, nobody will prepare your problems for you in such a manner
1
: you will have to
distill from an actual, vaguely put, problem a precise mathematical one yourself. So the stranger-looking
problems teach you to recognize mathematics in the world around you.
Finally, while solving these problems you can get acquainted with many ideas and notions, quite common
for mathematics of this century but still not popular enough with school curricula. Without bothering about
strict terms, you will learn how to deal with many principles of the so-called “discrete” mathematics, which
proved to be a universal language for all natural sciences.
The syllabus of mathematical studies at Soviet secondary schools has undergone in the course of history
several radical changes. For instance, the translator of this book was taught complex numbers and trigonom-
etry but not integrals whereas the next and previous generations enjoyed the opposite choice. Some of these
changes were akin to smashing blows
2
.
We have tried to solve the problems using elementary school mathematics; some of the solutions would,
however, be too long if presented in elementary terms so we used some calculus. Ask your teacher in case
of confusion and do not blame him/her if (s)he fails to solve some of the problems. In the awful case that a
fault or misprint crept into the text please send a tip to the editor or compilers.
One of the points we’d like to make is that ability to solve Olympiad problems does not distinguish a
good teacher nor a good mathematician; speaking mathematically this is neither a necessary nor sufficient
condition. A good adult mathematician, however, can usually solve any Olympiad problem
3
, at least by
more advanced means.
You must know that some of the problems collected here are very complicated. Some even proved to be
so difficult that in 5 hours of the Olympiad none of the students in the ten-million-city of Moscow succeeded
in finding the correct solution. Such a problem can astound even Ph. D. holders
4
. So you should not consider
yourself (or your schoolmate, or your professor) inadequate if you (or they) do not make progress even after
a week-long struggle.
But you should not be scared off! Our advice: set a difficult problem aside for a while rather than rush
immediately to Solutions after an unsuccessful first attack.
Now you can begin without further delay. Be sure to skim through Prerequisites first!
More advice: always put down your solutions to stew for a while. Discuss them, if possible, with your
teacher and classmates. Afterwards, if you have found no faults in your proof, read the one proposed in this
book. It may well differ from the one you invented yourself (and if it is similar to yours ... well, the greater
chance for both to be correct).
Remember that an answer, such as “Yes”, “Never” or “Five hundred and five”, is not a solution, even if
correct. Proofs
5
of all your statements are expected, and the word clearly should not litter it: try to explain
everything. Be aware of the fact that when we wrote “clearly, ...”, “it is easy to see”, “it is not difficult to
verify”, etc., we meant that it is the inquisitive reader who will actually complete the proof. (Otherwise the
book would have been twice its size and price.)
Use Part 2 (Solutions) to see if something you thought to be obvious can indeed be deduced from some
much more evident facts.
*
*
*
1
This is a typical stand of an ‘olympiadchik’, but it is not altogether wrong.
2
This might give to an optimistic student an idea that either of the above choices should be harmlessly sacrificed in favor
of some other, seemingly healthier than math, activity.
3
If has nothing better to do; a mathematician usually solves Olympiad-type problems around the clock, anyway; this is
one’s job and hobby.
4
Some of the problems have been correctly solved for the first time here.
5
An average student does NOT know what exactly this word means; neither do some (too many) school teachers. May
this book help you to understand this.

---

6
FORWORDS
Unlike exercise from Problem books, a real problem requires to be investigated: one has to find out at
least a way to tackle it. Therefere, start with easier problems. Do not solve all the problems in a row; this
is not a homework, choose the problems more interesting to you.
If you can not solve the problem, try to make a similar but easier problem and solve it. If you can not
even that, read a hint. If it does not help either, try not to gulp the solution but read it slowly, as a detective
story in which you try to guess the next turn of mind. Finally, look at the solution “in the large”: what are
its main driving ideas, and, most important, how could one get to it.
If you managed to solve the problem, read its solution we offer, since it is instructive to compare different
solutions (even if one of them is wrong).
To understand a solution deeper, ask yourself: at what stages of the proof we used different given data?
Will the statement be true if we slacken or omit a condition? Is the converse statement true?
Important is not the quantity of problems solved but the deepness of understanding their solution, the
new information acquired.
AT AN OLYMPYAD
1. Read all the problems offered and order them as you will solve them. Bare in mind that the order
given is usually in accordance with their difficulty from the compilers’ point of view.
2. If the problem has a too easy solution, then, most probably, you misunderstood the formulation or
made a mistake.
3. If you can not solve the problem, try to simplify it: make smaller numbers, consider particular cases,
etc., or solve it “backwards”, by the rule of contraries, substitute indeterminates instead of given numbewrs
or the other way round, etc.
4. If undecided whether a statement is true, try alternatevely to prove and to disprove it.
5. Do not stick to one problem for too long: from time to time make a break and estimate your position.
If you managed to advance, continue, otherwise, leave the problem for a while.
6. If tired, relax immediately (look at the sky and contemplate the infinite or walk along the corridor).
7. Having solved the problem, immediately write it down in proper official style, not as a letter to a pal.
This will help to verify the arguments and will free the old bean for other problems.
8. Each turn of idea should be documented even if it looks obvious. It is convenient, therefore, to express
the solution as a series of statements (lemmas).
9. The student seldom rereads his/her own production trying to put oneself into the jurys’ shoos: will