60-odd years of moscow mathematical

Part 1: Problems
9
Introduction
11
Prerequisites and notational conventions
11
Selected lectures of mathmathematics circles
17
Dirichlet’s principle
17
Nondecimal number systems
18
Indefinite second-order equations
20
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
23
Olympiad 1 (1935)
23
Olympiad 2 (1936)
24
Olympiad 3 (1937)
25
Olympiad 4 (1938)
25
Olympiad 5 (1939)
26
Olympiad 6 (1940)
27
Olympiad 7 (1941)
28
Olympiad 8 (1945)
29
Olympiad 9 (1946)
30
Olympiad 10 (1947)
32
Olympiad 11 (1948)
34
Olympiad 12 (1949)
35
Olympiad 13 (1950)
36
Olympiad 14 (1951)
37
Olympiad 15 (1952)
39
Olympiad 16 (1953)
42
Olympiad 17 (1954)
44
Olympiad 18 (1955)
48
Olympiad 19 (1956)
51
Olympiad 20 (1957)
54
Olympiad 21 (1958)
59
Olympiad 22 (1959)
62
Olympiad 23 (1960)
65
Olympiad 24 (1961)
67
Olympiad 25 (1962)
70
Olympiad 26 (1963)
74
Olympiad 27 (1964)
77
Olympiad 28 (1965)
80
Olympiad 29 (1966)
84
Olympiad 30 (1967)
85
v

---

vi
CONTENTS
Olympiad 31 (1968)
88
Olympiad 32 (1969)
91
Olympiad 33 (1970)
96
Olympiad 34 (1971)
100
Olympiad 35 (1972)
103
Olympiad 36 (1973)
106
Olympiad 37 (1974)
108
Olympiad 38 (1975)
110
Olympiad 39 (1976)
111
Olympiad 40 (1977)
113
Olympiad 41 (1978)
116
Olympiad 42 (1979)
116
Olympiad 43 (1980)
118
Olympiad 44 (1981)
120
Olympiad 45 (1982)
121
Olympiad 46 (1983)
122
Olympiad 47 (1984)
123
Olympiad 48 (1985)
125
Olympiad 49 (1986)
126
Olympiad 50 (1987)
128
Olympiad 51 (1988)
131
Olympiad 52 (1989)
132
Olympiad 53 (1990)
133
Olympiad 54 (1991)
134
Olympiad 55 (1992)
135
Olympiad 56 (1993)
137
Olympiad 57 (1994)
139
Olympiad 58 (1995)
142
Olympiad 59 (1996)
143
Olympiad 60 (1997)
145
Selected problems of Moscow mathematical circles
147
Hints to selected problems of Moscow mathematical circles
153
Answers to selected problems of Moscow mathematical circles
157
Historical remarks
177
A little problem
191
Bibliography
195
Suggested books for further reading
195
Recreational mathematics
196

---

Preface
I never liked Olympiads.
The reason is I am a bad sportsman: I hate to lose. Sorry to say, I realize that at any test there usually
is someone who can pass the test better, be it a soccer match, an exam, or a competition for a promotion.
Whatever the case, skill or actual knowledge of the subject in question often seem to be amazingly less
important than self-assurance.
Another reason is that many of the winners in mathematical Olympiads that I know have, unfortunately,
not been very successful as mathematicians when they grew up unless they continued to study like hell (which
means that those who became good mathematicians were, perhaps, not very successful as human beings;
however, those who did not work like hell were even less successful). Well, life is tough, but nevertheless it
is sometimes very interesting to live and solve problems.
To business.
Regrettable as it is, an average student of an ordinary school and often, even the
1
teacher, has no idea
that not all theorems have yet been discovered.
For better or worse, the shortest way for a kid to discover mathematics as science, not just a cook book
for solving problems, is usually through an Olympiad: it is a spectacular event full of suspense, and a good
place to advertise something really worth supporting like a math group or a specialized mathematical school.
(Olympiads, like any sport, need sponsors. Science needs them much more but draws less.)
On the other hand, there are people who, though slow-witted at Olympiads, are good at solving problems
that may take years to solve, and at inventing new theorems or even new theories.
One should also be aware of the fact that today’s mathematical teaching all over the world is on the
average at a very low level; the textbooks that students have to read and the problems they have to solve
are very boring and remote from reality,whatever that might mean. As a Nobel prize winner and remarkable
physicist Richard Feynman put it
2
, most (school) textbooks are universally lousy.
This is why I tried to do my best to translate, edit and advertise this book — an exception from the
pattern (for a list of a few very good books on elementary mathematics see Bibliography and paragraph H.5
of Historical remarks; regrettably, some of the most interesting books are in Russian).
If you like the illustrations in this book you might be interested in the whole collection of Acad.
3
A. Fomenko’s drawings (A. Fomenko, Mathematical impressions, AMS, Providence, 1991) and the mathe-
matics (together with works of Dali, Breughel and Esher) that inspired Fomenko to draw them.
*
*
*
This is the first complete compilation of the problems from Moscow Mathematical Olympiads with
solutions of ALL problems. It is based on previous Russian selections: [SCY], [Le] and [GT]. The first
two of these books contain selected problems of Olympiads 1–15 and 1–27, respectively, with painstakingly
elaborated solutions. The book [GT] strives to collect formulations of all (cf. Historical remarks) problems
of Olympiads 1–49 and solutions or hints to most of them.
For whom is this book? The success of its Russian counterpart [Le], [GT] with their 1,000,000 copies
sold should not decieve us: a good deal of the success is due to the fact that the prices of books, especially
text-books, were increadibly low (< 0.005 of the lowest salary.) Our audience will probably be more limited.
1
We usually use a neutral “(s)he” to designate indiscriminately any homo, sapiens or otherwise, a Siamease twin of either
sex, a bearer of any collection of X and Y chromosomes, etc. In one of the problems we used a “(s)he” speaking of a wise
cockroach. Hereafter editor’s footnotes.
2
Feynman R. Surely you’re joking, Mr. Feynman. Unwin Paperbacks, 1989.
3
There were several scientific degrees one could get in the USSR: that of Candidate of Science is roughly equivalent to a
Ph.D., that of Doctor of Science is about 10 times as scarce. Scarcer still were members of the USSR Academy of Sciences.
Among mathematicians there were about 100 Corresponding Members — in what follows abbreviated to CMA — and about
20 Academicians; before the inflation of the 90’s they were like gods. (This is why the soviet authors carefully indicate the
scientists’ ranks.)
1

---

2
PREFACE
However, we address it to ALL English-reading teachers of mathematics who could suggest the book to their
students and libraries: we gave understandable solutions to ALL problems.
Do not ignore fine print, please.
Though not as vital, perhaps, as contract clauses, Remarks and Extensions, i.e.,
generalizations of the problems, might be of no less interest than the main text.
Difficult problems are marked with an asterisk
∗
.
Whatever the advertisements inviting people to participate in a Moscow Mathematical Olympiad say,
some extra knowledge is essential and taken for granted. The compilers of [Le] and [SCY], not so pressed to
save space, earmarked about half the volume to preparatory problems. We also provide sufficient Prerequi-
sites. Most of the problems, nevertheless, do not require any special background.
The organizers of Olympiads had no time to polish formulations of problems. Sometimes the solutions
they had in mind were wrong or trivial and the realization of the fact dawned at the last minute. It was
the task of the “managers” (responsible for a certain grade) and the Vice Chairperson of the Organizing
committee to be on the spot and clarify (sometimes considerably). Being unable to rescue the reader on the
spot, I have had to alter some formulations, thus violating the Historical Truth in favour of clarity.
While editing, I tried to preserve the air of Moscow mathematical schools and circles of the period and,
therefore, decided to season with historical reminiscences and clarifying footnotes. We also borrowed Acad.
Kolmogorov’s foreword to [GT] with its specific pompous style. One might think that political allusions
are out of place here. However, the stagnation and oppression in politics and social life in the USSR was a
reason that pushed many bright (at least in math) minds to mathematics.
The story A little problem
1
and Historical remarks describe those times. Nowadays the majority of them
live or work in America or Europe. I hope that it is possible to borrow some experience and understand
the driving forces that attracted children to study math (or, more generally, to mathematical schools, from
where many future physicists, biologists, etc., or just millionaires, also emerged). It was partly the way they
studied and later taught, that enabled them to collect a good number of professorial positions in leading
Universities all over the world (or buy with cash a flat on Oxford street, London).
What is wrong with the educational system in the USA or Europe, that American or European students
cannot (with few exceptions) successively compete with their piers from the USSR? This question is so
interesting and important that The Notices of American Mathematical Society devoted the whole issue (v.
40, n.2, 1993) to this topic, see also the collection of reminiscences in: S. Zdravkovska, P. Duren (eds.), The