63-§. Masala yechishga oid metodik masalalar

83-masala (I.V.Meshcherskiy,1081).
P og’irlikdagi A yuk, uzunligi L va og’irligi Q bo’lgan bir jinsli cho’zilma sarqonga osilgan.Arqon shakl tekisligiga tik bo’lgan O o’q atrofida aylanuvchi B blokdan o’tkazilgan. Arqonning ikkinchi uchi qo’zg’almas gorizontal tekislik bo’ylab sirg’anmay g’ildirovchi C katokning o’qiga ulangan.B blok va C katoklarning har qaysisining radiusi r va og’irligi P bo’lgan bir jinsli doiraviy diskdan iborat. Katokning gorizontal tekislikda silkinishidan hosil bo’ladigan ishqalanish koeffitsiyenti k ga teng. Sistema tinch holatda turgan boshlang’ich paytda, B blokdan arqonning l uzunlikdagi qismi osilib tushgan . A yukning tezligi uning vertikal siljishi h funksiyasida aniqlansin (90-shakl).
Yechish.Bu masalada yukning siljishi h va P,P,Q o’zgarmas kuchlar ma’lum bo’lib , yukning v tezligini topish talab qilinadi. Shuning uchun kinetik energiyaning o’zgarishi haqidagi teoremaning (62.14) formulasidan foydalanamiz:
(1)
Sistemaning kinetik energiyasi:A yukning T,B blokning T,C katokning T va arqonning T kinetik energiyalar yig’indisidan iborat,ya’ni
(2)
Arqonning har qanday nuqtasining tezligi ilgarilama harakat qilayotgan yukning v tezligiga teng bo’lgani uchun (62.2) formulaga binan quyidagini yozamiz:


Blok aylanma harakat qiladi,uning kinetik energiyasini (62.3) formula bilan topamiz:
bunda

• 
  Blokning aylanish burchak tezligi.
  

Demak ,

Katokning harakati tekis parallel bo’lgani uchun uing kinetik energiyasini (62.4) formuladan topamiz:
(5)
bu yerda -katokning aylaninsh burchak tezligi.
Katok tekislikda sirg’anmasdan yumalayotgani uchun uning tekislik bilan tegishgan nuqtasining tezligi nolga teng,chunki u nuqta katokning aylanish oniy markazi.
Shu sababli :
va
demak,
(6)
Topilgan larning qiymatlarini (2) ga qo’ysak quyidagi kelib chiqadi:
(7)
Boshlang’ich paytda sistema tinch holatda turgani uchun
(8)
Endi A yuk h masofaga ko’chganida sistemaga qo’yilgan hamma kuchlarning bajargan ishlarining yig’indisini topishga o’tamiz.
kuch bajargan ish quyidagiga teng:
(9)
O va C nuqtalar qo’yilgan har qaysi P kuchining ishi nolga teng, chunki O nuqta qo’zg’almas ,C nuqta esa gorizontal bo’yicha siljiydi.
Yumalab ishqalanish juftining momenti ga teng, bu juftning ishi esa uning momentining katok aylanish burchagiga ko’paytmasining manfiy ishora bilan olinganiga teng, chunki yumalab ishqalanish juftining yo’nalihsi katokning aylanishiga qarama-qarshi ,demak,
(10)
Katokning
(11)
Aylanish burchak tezligi B blokning aylanish burchak tezligiga teng bo’lgani uchun, katokning aylanish burchagi blokning aylanish burchagiga teng, ya’ni shuning uchun:
(12)
Katok tekislikda sirg’anmay yumalagani uchun uning sirg’anib ishqalanishi kuchining ishi nolga teng, chunki bu sirg’anib ishqalanish kuchi qo’yilgan nuqtaning tezligi nolga teng. Arqon og’irligining tortish kuchini topamiz. Oldin shunu aytsish kerakki, arqon birlik uzunligining og’irligi
(13)
ga teng va blokdan osilib turgan qismining og’irlik markazi harakat boshlanganiga qadar
(14)
holatda bo’lgan.
Harakatning oxirida arqonning Oy o’qi bo’yicha og’irlik markazi
(15)
holatda bo’ladi. Arqonning og’irlik kuchining ishini quyidagi formuladan topamiz:
(16)
Haqiqatdan ham, biror vaqtda arqonning birlik uzunligi vertical holatga o’tsa , uning ishi quyidagicha bo’ladi:
(17)
To’la ish quyidagiga teng bo’ladi:
(18)
Harakat boshlanishida sistemaning hamma nuqtalari tinch holatda ekanini nazarga olsak, sistema kinetik energiyasining o’zgarish teoremasi quyidagicha bo’ladi:
(19)
Bunga (7),(9),(12),(16) lardan qiymatlarini olib qo’yamiz:

bundan v ni topamiz: