7-amaliy mashg`ulot. Kombinatorikaning asosiy qoidalari va formulalari. Yig’indi qoidasi

2.Ko’paytma qoidasi. Chekli to’plamlarning dekart ko’paytmasi elementlari sonini topishga imkon beradigan qoida ko’paytma qoidasi deyiladi.

A = {a₁, a₂, …, a_n} va B = {b₁,b₂, …, b_m} to’plamlar elementlaridan nechta tartiblangan (a_i, b_j.) juftlik tuzish mumkinligini ko’raylik. Barcha juftliklarni tartib bilan quyidagicha joylashtiramiz:

(a₁; b₁), (a₁; b₂), … , (a₁; b_m),
(a₂; b₁), (a₂; b₂), … , (a₂; b_m),
(a_n; b₁), (a_n; b₂), … , (a_n; b_m).

Bu jadvalda n ta qator va m ta ustun bo’lib, undagi barcha juftliklar soni n·mga teng. Bu yerda n = n(A) va m = n(B).

Ko’paytma qoidasi n(A×B) = n(A) · n(B) ko’rinishda yoziladi.

Ko’paytma qoidasiga oid kombinatorika masalasining umumiy ko’rinishi: «Agar x elementni m usul, y elementni n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) tartiblangan juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin».

Ikkitadan ortiq to’plamlar uchun bu formula quyidagicha yoziladi:

n(A₁×A₂× … ×A_n) = n(A₁) ·n(A₂) ·… · n(A_n),(n>2).

Masalan, A shahardan B shaharga 3 yo’l bilan, B shahardan C shaharga ikki yo’l bilan borish mumkin bo’lsa, A shahardan C shaharga necha xil usul bilan borish mumkin?

Yo’lning 1-qismini 3 xil, 2-qismini 2 xil yo’l bilan o’tish mumkin bo’lsa, umumiy yo’lni 3·2 = 6 usul bilan o’tish mumkin.

Umumlashgan ko’paytma qoidasi: «Agar x elementni m usul bilan, y elementni, x ni tanlab bo’lgandan so ‘ng, n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin».

Masala. Nechta turli raqamlar bilan yozilgan ikki xonali sonlar bor?

Yechish. 1-raqamni 9 usul bilan (1, 2, …, 9), 2-raqamni ham 9 usul bilan (noldan boshlab o’nliklar raqamidan boshqa raqamlar) tanlash mumkin. Hammasi bo’lib 9·9 = 81 ta shunday son bor ekan.

Kombinatorika – bu diskret matematikaning diskret to’plam elementlarini berilgan qoidalar asosida tanlash va joylashtirish bilan bog’liq bo’lgan masalalarni yechish usullarini o’rganuvchi bo’limidir.

Qandaydir predmetlardan tashkil topgan guruxlar birikmalar deyiladi.

Birikmalarni tashkil etgan predmetlar elementlar deyiladi.

Birikmalarning 3 xil turi mavjud:

1. 
   o’rin almashtirish;
   
2. 
   o’rinlashtirish;
   
3. 
   gruppalash.
   

1-ta’rif. n ta elementli o’rin almashtirish deb, bir- biridan faqat elementlarining tartibi bilan farq qiladigan n ta elementli birikmalarga aytiladi.

Ularning soni quyidagi formula orqali topiladi:

Xossalari:

1.

2.

1-masala. 1, 2, 3 raqamlardan nechta 3 xonali son tuzish mumkin.

Yechilishi: ta .

2-ta’rif. Takrorli o’rin almashtirish deb, tarkibida A element marta, B element marta va hokazo, hamda C element marta qatnashuvchi uzunlikdagi har qanday n talikka aytiladi.

Takrorli o’rin almashtirishlarning soni quyidagi formula orqali topiladi:

.

2-masala. 1, 1, 2, 3 raqamlardan nechta 4 xonali son tuzish mumkin?

Yechilishi: ta

3-ta’rif. n ta elementdan m tadan o’rin almashtirish deb, har birida berilgan n ta elementdan m tasi olingan shunday birikmalarga aytiladiki, ularning har biri hech bo’lmaganda bitta elementi bilan, yoki faqat ularning joylashish tartibi bilan farq qiladi.

Ularning soni quyidagi formula orqali topiladi:

Xossalari:



3-masala. 1, 2, 3, 4, 5 raqamlardan nechta 2 xonali son tuzish mumkin.

ta

n ta elementdan m tadan takrorlanuvchi o’rinlashtirishlarda ixtiyoriy element 1 dan m martagacha uchrashi yoki umuman uchramasligi mumkin, ya’ni har bir n ta elementdan m tadan takrorlanishli o’rinlashtirish nafaqat turli elementlardan, balki m ta ixtiyoriy ravishda takrorlanuvchi ixtiyoriy elementlardan tashkil topishi mumkin.

n ta elementdan m tadan takrorlanuvchi o’rinlashtirishlar soni quyidagi formula bilan hisoblanadi:



4-masala. Seyfning shifrli kodi besh xonali sondan iborat. Kodlashtirilganda nechta turli kombinatsiya tuzish mumkin?

Yechilishi: Kodlashtirishda 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlarning hammasidan foydalanish mumkin. n=10. kod besh xonali son bo’lgani uchun m=5.

usul bilan kodlashtirish mumkin.

5-ta’rif. n element orasidan m ta elementdan tuzilgan gruppalash deb, har birida berilgan n ta elementdan m tasi olingan shunday birikmalarga aytiladiki, ularning har biri hech bo’lmaganda bitta element bilan farq qiladi.

Ularning soni quyidagi formula orqali topiladi:



Xossalari:

1)

2)

3)

4)

5-masala. Yashikda 8 ta detal bor. Ulardan 3 ta qilib nechta usulda olish mumkin?

Yechilishi:

n ta elementdan m tadan element bo’lgan takrorlanishli gruhlashlarda ixtiyoriy element 1 dan m martagacha uchrashi yoki umuman uchramasligi mumkin, ya’ni har bir n ta elementdan m tadan takrorlanishli o’rinlashtirish nafaqat elementlardan, balki m ta ixtiyoriy ravishda takrorlanuvchi ixtiyoriy elementlardan tashkil topishi mumkin. Tarkibi bir xil bo’lib, faqat elementlarning tartibi bilan farq qiluvchi guruhlar farq qilinmaydi, ya’ni faqat elementlarining joylashishi.

tartibi bilangina farq qiluvchi guruhlar bir xil guruhlar hisoblanadi.

n ta elementdan m tadan takrorlanishli gruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:



Izoh: m n dan katta bo’lishi ham mumkin.

6-masala. 4 xil kitobdan necha usul bilan 7 kitobdan iborat to’plam yozish mumkin?

Yechilishi: to’p.

Tasodifiy hodisa. Ehtimollik tushunchasi

Ehtimollar nazariyasi “Tasodifiy tajribalar”, yani natijasini oldindan aytib bo`lmaydigan tajribalardagi qonuniyatlarni o`rganuvchi matematik fandir. Bunda shunday tajribalar qaraladiki,ularni o`zgarmas (yani bir xil) shartlar kompleksida xech bo`lmaganda nazariy ravishda ixtiyoriy sonda takrorlash mumkin, deb hisoblanadi.

Bunday tajribalar har birining natijasi tasodifiy hodisa ro`y berishidan iboratdir. Biz kuzatadigan hodisalarni quyidagi uch turga ajratish mumkin: muqarrar, ro`y bermaydigan va tasodifiy hodisalar.

Muqarrar hodisa deb tayin shartlar to`plami S bajarilganda albatta ro`y beradigan hodisaga aytiladi.

Mumkin bo`lmagan hodisa deb shartlar to`plami S bajarilganda mutloqo ro`y bermaydigan hodisaga aytiladi.

Tasodifiy xodisa deb shartlar to`plami S bajarilganda ro`y berishi ham, ro`y bermasligi ham mumkin bo`lgan xodisaga aytiladi.

Masalan, tanga tashlaganda, u gerbli tomoni, yoki raqamli tomoni bilan tushishi mumkin. Shu sababli “tanga tashalganda gerbli tomoni bilan tushdi” xodisasi tasodifiydir.

Masalan,

1) Тangani ikki marta tashlash (yoki ikkita tangani birdaniga tashlash)

tajribasi uchun Ω ={GG, GR, RG, RR}.

Bu yerda GG– tangani ikki marta ham “gerb” tomoni bilan tushish

hodisasi, RG– birinchi marta “raqam” tomoni, ikkinchi marta esa “gerb” tomoni

bilan tushish hodisasi va qolgan GR, RR hodisalar shularga o‘хshash hodisalar

bo‘ladi. Bu holda |Ω| = 4 va GR, RG hodisalar bir-biridan farq qiladi.

2) Тajriba o‘yin kubigini 2 marta tashlashdan iborat bo‘lsin. Bu holda elementar hodisalar ushbu ko‘rinishga ega: A_i,j= (i, j) i,j=1,2,...,6.

Bunda A_i,j hodisa kubikni birinchi tashlashda i raqamli yoq, ikkinchi tashlashda j raqamli yoq tushganligini bildiradi.

Bu tajribada elementar hodisalar fazosi Ω ={ A_i,j, i,j=1,2,...,6}. Elementar hodisalar soni |Ω| = 36.

Agar tajriba natijasida A ga kirgan elementar hodisalarning birortasi ro`y bersa, A hodisa ro`y bergan deyiladi.

Agar shu elementar hodisalardan birortasi ham ro`y bermasa, A hodisa ro`y bermaydi, unda A xodisaga teskari xodisa ro`y bergan deyiladi.

( orqali belgilanadi)

A va o`zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi.

Muqarrar hodisani bilan belgilaymiz. Mumkin bo`lmagan xodisani  bilan belgilaymiz.

1. 
   Agar A hodisani tashkil etgan elementar hodisalar hodisaga ham tegishli bo‘lsa, A hodisa hodisani ergashtiradi deyiladi va kabi belgilanadi (1-rasm).
   

1-rasm

1. 
   Agar va , ya’ni A hodisa ni ergashtirsa, va aksincha, hodisa A ni ergashtirsa, A va hodisalar teng deyiladi va kabi belgilanadi.
   
2. 
   A va tasodifiy hodisalarning yig‘indisi deb, shunday C hodisaga aytiladiki, bu hodisa A va hodisalarning kamida bittasi ro‘y berganda ro‘y beradi va (yoki ) kabi belgilanadi (2-rasm).
   

2-rasm.

3. 
   A va B tasodifiy hodisalarning ko‘paytmasi deb, shunday C hodisaga aytiladiki, bu hodisa A va B hodisalar bir paytda ro‘y berganda ro‘y beradi va kabi belgilanadi (3-rasm).
   

3-rasm

4. 
   A va B tasodifiy hodisalarning ayirmasi deb, shunday C hodisaga aytiladiki, u A hodisa ro‘y berib, B hodisa ro‘y bermaganda ro‘y beradi va kabi belgilanadi (4-rasm).
   

4-rasm

1. 
   Agar  bo‘lsa, A va B hodisalar birgalikda bo‘lmagan hodisalar deyiladi (5-rasm).
   

5-rasm

Agar  bo‘lsa, u holda A₁, A₂, …, A_n lar hodisalar to‘la guruxini tashkil etadi deyiladi.

Murakkab hodisaning ehtimolliklarini oddiy hodisalarning ehtimolliklarini hisoblash orqali topiladi.

Birgalikda bo’lmagan hodisalarning ehtimolliklarini qo’shish qoidasi. Ikkita birgalikda bo’lmagan hodisadan istalgan birining ro’y berish ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining yig’indisiga teng:



Natija: Har ikkitasi birgalikda bo’lmagan bir nechta hodisalardan istalgan birining ro’y berish ehtimolligi bu hodisalar ehtimolligining yig’indisiga teng.



Birgalikda bo’lgan hodisalar ehtimolliklarini qo’shish qoidasi. Ikkita birgalikda bo’lgan hodisadan kamida bittasining (hech bo’lmaganda birining) ro’y berish ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklari yig’indisidan ularning birgalikda ro’y berish ehtimolligini ayrilganiga teng:

Bu qoida istalgan chekli sondagi birgalikda bo’lgan hodisalar uchun umumlashtirilishi mumkin. Masalan, uchta birgalikda bo’lgan hodisa uchun:

Natija. Qarama- qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig’indisi birga teng:

Bundan

1-masala: Idishda 40 ta shar bor, ulardan 15tasi oq rangda, 5 tasi yashil rangda, 20 tasi sariq rangda. Rangli shar chiqish ehtimolligini toping.

Yechilishi: Rangli shar chiqishi bu yashil shar yoki sariq shar chiqishini bildiradi.

A= yashil shar chiqish hodisasi

B= sariq shar chiqish hodisasi

Ularning mos ravishda ehtimolliklari

A va B hodisalar birgalikda emas ( bir rangli shar chiqishi boshqa rangli shar chiqishini yo’qqa chiqaradi).

Izlanayotgan ehtimollik quyidagiga teng

2-masala. Ikkita ovchi bir paytda bir- biriga bog’liq bo’lmagan holda tulkiga qarata o’q uzishdi. Ovchilardan hech bo’lmaganda biri o’qni nishonga tekkizsa, tulki otib olingan bo’ladi. Birinchi ovchining nishonga urish ehtimolligi 0,8 ga, ikkinchisiniki 0,6 ga teng bo’lsa, hech bo’lmaganda bitta ovchining nishonga tekkazish ehtimolligini toping.

Yechilishi: 1-usul.

A = { birinchi ovchining nishonga tekkazish hodisasi}.

B= { ikkinchi ovchining nishonga tekkazish hodisasi}.

C=A+B={hech bo’lmaganda bitta ovchining nishonga tekkazish hodisasi}.

U holda

AB ikkala ovchi nishonga tekkazadi.

A va B hodisalar bog’liq bo’lmagan hodisalar. Shuning uchun



2-usul.

Hech bo’lmaganda bitta ovchining nishonga tekkazish hodisasi va nishonga tegmaganlik hodisasi bir-biriga qarama-qarshi hodisalardir. Shuning uchun

A () hodisaning ehtimolligi deb tengsizlikni qanoatlantiradigan P[A] haqiqiy songa aytiladi, muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga teng, ya’ni , shuningdek, va lar erkli () hodisalar bo’lib, bo’lsa, u holda bo’ladi, ya’ni erkli hodisalarning ehtimoliklari yig’indisiga teng.

Ehtimollarni hisoblash usullari. Tasodifiy miqdor

Misol: O'yin soqqasi ikki marta tashlangan bo'lsin.

-tushgan ochkolar yig'indisi to’rtdan kichik bo'lish hodisasi, esa birinchi tashlaganda bir tutish hodisasi bo'lsin. hodisasi ro'y berganlik shartida hodisasining ro'y berish ehtimolligi to’ilsin.

Bu holga mos elementar hodisalar fazosi 36 ta elementdan iborat bo'ladi.

va hodisalar ning qism to'‘lamlari:

;

_.

Shuning uchun ham ehtimollikning klassik ta’rifiga asosan

; ; .

B hodisasi ro'y berganda A hodisasi ro'y berishiga (1,1),(1,2) elementar hodisalar imkon tug'diradi , shuning uchun ham

.

Faraz qilaylik, elementar hodisalar fazosi ta bir xil imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil to’gan bo'lsin.Ulardan m tasi hodisasiga, tasi hodisasiga, tasi hodisasiga imkon tug'dirsin, ().

Shuning uchun ham, , va .

Ta’rif: bo’lsa, hodisasi hodisasidan bog’liqmas deyiladi.

Agar hodisasi hodisasidan bog’liq bo’lmasa, hodisasi ham, hodisasidan bog’liq bo’lmaydi. Haqiqatan ham, ko’paytirish teoremasiga asosan hodisasi hodisasidan bog’liqmas bo’lganligi uchun ko’paytirish teoremasiga asosan

.

Bundan kelib chiqadi, ya’ni bog’liqmaslik o’zaro ekan.

Agar va hodisalari bog’liqmas bo’lsalar, va , va , va hodisalar juftliklari ham bog’lanmagan bo’ladi.

Masalan, va hodisalari bog’liqmaslikni ko’rsatamiz.

tengligidan bo’lganligi uchun

kelib chiqadi. Demak, va hodisalaribog’liqmas ekan.

Bog’liqmas hodisalar uchun ko’paytirish teoremasi

ko’rinishni oladi.

Endi hodisalarning bog’liqsizlik tushunchasini umumlashtiramiz.

Ta’rif. Agar har qanday va lar uchun

tenglik o’rinli bo’lsa, hodisalar birgalikda bog’liq emas deyiladi

Teorema.ehtimollik fazosi berilgan bo’lsin. hodisalari birgalikda bo’lmagan hodisalarning to’la guruhini tashkil qilsin (). U holda ixtiyoriy uchun

(3)

o’rinli bo’ladi.

(3) formulaga to’la ehtimollik formulasi deyiladi.

Isboti.va lar birgalikda bo’lmagan hodisalarning to’la guruhini tashkil qilganligi uchun

, va ().

Qo’shish aksiomasi va shartli ehtimollik formulasiga asosan

.

Teorema isbot bo’ldi.

Masala. Idishda n ta shar bor . Oq sharlar haqida -() ta gi’oteza bo'lishi mumkin.

-idishda ta oq shar bo'lish hodisasi bo’lsa bo’ladi.Idishdan olingan shar oq bo'lib chiqdi. (B hodisasi) Idishda ta oq sharlar bo’lgan bo'lish ehtimoli to’ilsin.

, u holda (4) formulaga asosan

Shunday qilib gi’oteza katta ehtimolli ekan.

Ehtimollar nazariyasining muhim tusunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir.

• 
  Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum bo‘lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.
  

Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X,Y,Z,…(yoki grek alifbosining kichik harflari (ksi), (eta), ζ(dzeta),…) bilan qabul qiladigan qiymatlari esa kichik harflar , bilan belgilanadi.

Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) X-tavakkaliga olingan mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y-n ta o‘q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) Z-asbobning beto‘htov ishlash vaqti; 4) U-[0,1] kesmadan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) V-bir kunda tug‘iladigan chaqaloqlar soni va h.k..

• 
  Agar tasodifiy miqdor(t.m.) chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa, bunday t.m. diskret tipdagi t.m. deyiladi.
  
• 
  Agar t.m. qabul qiladigan qiymatlari biror oraliqdan iborat bo‘lsa uzluksiz tipdagi t.m. deyiladi.
  

Demak, diskret t.m. bir-biridan farqli alohida qiymatlarni, uzluksiz t.m. esa biror oraliqdagi ihtiyoriy qiymatlarni qabul qilar ekan. Yuqoridagi X va Y t.m.lar diskret, Z esa uzluksiz t.m. bo‘ladi.

Endi t.m.ni qat’iy ta’rifini keltiramiz.

• 
   elementar hodisalar fazosida aniqlangan X sonli funksiya t.m. deyiladi, agar har bir  elementar hodisaga X() conni mos qo‘ysa, yani X=X(), .
  

Masalan, tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo‘lsin. Elementar hodisalar fazosi bo‘ladi. X-gerb chiqishlari soni bo‘lsin, u holda X t.m. qabul qiladigan qiymatlari: X(₁)=2, X(₂)=1, X(₃)=1, X(₄)=0.

Agar  chekli yoki sanoqli bo‘lsa, u holda  da aniqlangan ixtiyoriy funksiya t.m. bo‘ladi. Umuman, X() funksiya shunday bo‘lishi kerakki: xR da hodisa S -algebrasiga tegishli bo‘lishi kerak.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni X-diskret t.m. bo‘lsin. X t.m. qiymatlarni mos ehtimolliklar bilan qabul qilsin:

X			…		…
P			…		…

jadval diskret t.m. taqsimot qonuni jadvali deyiladi. Diskret t.m. taqsimot qonunini ko‘rinishda yozish ham qulay.

hodisalar birgalikda bo‘lmaganligi uchun ular to‘la gruppani tashkil etadi va ularning ehtimolliklari yig‘indisi birga teng bo‘ladi, ya’ni .

• 
  X t.m. diskret t.m. deyiladi, agar chekli yoki sanoqli to‘plam bo‘lib, va tenglik o‘rinli bo‘lsa.
  
• 
  X va Y diskret t.m.lar bog‘liqsiz deyiladi, agar va hodisalar da bog‘liqsiz bo‘lsa, ya’ni ,
  

2.1-misol. 10 ta lotoreya biletida 2 tasi yutuqli bo‘lsa, tavakkaliga olingan 3 ta lotoreya biletlari ichida yutuqlilari soni X t.m.ning taqsimot qonunini toping.

X t.m.ni qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari . Bu qiymatlarning mos ehtimolliklari esa

.

X t.m. taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida yozamiz:

X	0	1	2
P

Taqsimot funksiyasi va qonuni tushunchalari

Diskret va uzluksiz t.m.lar taqsimotlarini berishning universal usuli ularning taqsimot funksiyalarini berishdir. Taqsimot funksiya F(x) orqali belgilanadi.

• 
  F(x) funksiya X t.m.ning taqsimot funksiyasi xR son uchun quyidagicha aniqlanadi:
  

. (2.3.1)

Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   F(x) chegaralangan:
   

.

2. 
   F(x) kamaymaydigan funksiya: agar x₁<x₂ bo‘lsa, u holda .
   

3. 
   .
   

4. 
   F(x) funksiya chapdan uzluksiz:
   

.

Isboti: 1. Bu xossa (2.3.1) va ehtimollikning xossalaridan kelib chiqadi.

2. hodisalarni kiritamiz. Agar x₁<x₂ bo‘lsa, u holda va , ya’ni yoki .

3. va ekanligi va ehtimollikning xossasiga ko‘ra

.

4. hodisalarni kiritamiz. Bu yerda {x_n} ketma-ketlik monoton o‘suvchi, . A_n hodisalar ketma-ketligi ham o‘suvchi bo‘lib, . U holda , ya’ni . ■

Diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:

. (2.3.2)

2.2-misol. 2.1-misoldagi X t.m. taqsimot funksiyasini topamiz.

1. 
   

   X	0	1	2
   P

   Agar x0 bo‘lsa, ;
   
2. 
   Agar 0<x1 bo‘lsa, ;
   
3. 
   Agar 1<x2 bo‘lsa, ;
   
4. 
   Agar x>2 bo‘lsa, .
   

Demak,



F(x) taqsimot funksiya grafigi 13-rasmda keltirilgan.

13-rasm.

• 
  X t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo‘lsa.
  

Agar F(x) taqsimot funksiya uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi bo‘lsa, taqsimot funksiyaning 1-4 xossalaridan quyidagi natijalarni keltirish mimkin:

1. 
   X t.m.ning [a,b) oraliqda yotuvchi qiymatni qabul qilish ehtimolligi taqsimot funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng:
   

. (2.3.3)

2. 
   X uzluksiz t.m.ning tayin bitta qiymatni qabul qilishi ehtimolligi nolga teng:
   

1-natijada [a,b], (a,b], (a,b) oraliqlar uchun ham (2.3.3) tenglik o‘rinli, ya’ni

.

Masalan, .

Isboti. 1. a bo‘lgani uchun . va hodisalar birgalikda bo‘lmagani uchun . .

2. (2.3.3.) tenglikni [a,x) oraliqqa tatbiq etamiz: . F(x) funksiya a nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun .