7-ma’ruza. Lebeg integrali (2 soat) Reja

7.3-ta'rif. Agar (7.3) qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda sodda funksiya to‘plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchi deyiladi. (7.3) qatorning yig‘indisi funksiyaning to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi

Bu ta'rifda larning har xilligi talab qilingan. Lekin larning har xilligini talab qilmasdan ham sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali ta'rifini keltirish mumkin. Bu quyidagi lemma yordamida amalga oshiriladi.

7.1-lemma. va har bir to‘plamda funksiya faqat bitta qiymat qabul qilsin. U holda

tenglik o‘rinli hamda sodda funksiya to‘plamda integrallanuvchi bo‘lishi uchun (7.4) qatorning absolyut yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarlidir.

Isbot. Osongina ko‘rish mumkinki, har bir

to‘plam bo‘ladigan to‘plamlarning birlashmasidan iborat, ya'ni

Shuning uchun

O‘lchovning manfiymasligidan

ya'ni

qatorlar bir vaqtda absolyut yaqinlashadi yoki uzoqlashadi.

Sodda funksiyalar uchun Lebeg integralining ba'zi xossalarini isbotlaymiz.

A) Additivlik xossasi. Agar va sodda funksiyalar to‘plamda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda sodda funksiya ham to‘plamda integrallanuvchi va

tenglik o‘rinli.

Isbot. Integrallanuvchi sodda funksiya qiymatni to‘plamda, sodda funksiya esa qiymatni to‘plamda qabul qilsin. U holda

qatorlar absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. O‘lchovning additivlik xossasiga ko‘ra, quyidagi tengliklar o‘rinli

U holda quyidagi musbat hadli qatorlar

yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak,

qator absolyut yaqinlashuvchi. Bundan sodda funksiyaning integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi. 7.1-lemmaga ko‘ra,

B) Agar sodda funksiya to‘plamda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy o‘zgarmas uchun funksiya ham to‘plamda integrallanuvchi va quyidagi tenglik o‘rinli