7-ma’ruza. Lebeg integrali (2 soat) Reja

Isbot.

C) to‘plamda chegaralangan sodda funksiya integrallanuvchidir.

Agar da bo‘lsa, u holda quyidagi tengsizlik o‘rinli

Isbot.

Bu ma’ruzani quyidagi sodda funksiyaning Lebeg integralini hisoblash bilan yakunlaymiz.

7.3-misol. oraliqda funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:

sodda funksiya to‘plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchimi? Agar integrallanuvchi bo‘lsa, uni hisoblang.

Yechish. Ma'lumki,

va to‘plamlar o‘zaro keshishmaydi. Sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali ta'rifiga ko‘ra,

qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, funksiya da integrallanuvchi bo‘ladi. Bu holda musbat hadli qatorlarni taqqoslash haqidagi Dalamber alomatidan foydalanish qulay.

Demak, (7.5) qator yaqinlashuvchi. Bu yerdan sodda funksiyaning Lebeg ma'nosida integrallanuvchiligi kelib chiqadi. Endi (7.5) qator yig‘indisini hisoblaymiz. Uning qismiy yig‘indisi uchun

Bu tenglikda da limitga o‘tib

ekanligini olamiz.

Matematik analiz kursidan ma'lumki ([7] ga qarang) funksiya Riman ma'nosida integrallanuvchi bo‘lishi uchun, uning chegaralangan bo‘lishi zarur. Chegaralanmagan funksiyalar uchun Riman integrali "xosmas integral" ma'nosida ta'riflanadi. 7.1-misolda qaralgan funksiya da chegaralanmagan. Lebeg integrali ta'rifida funksiyaning chegaralangan bo‘lishi muhim emas, ya'ni chegaralangan va chegaralanmagan funksiyalar uchun Lebeg integrali bir xilda ta'riflanada.