7-ma’ruza Optimal boshqaruv masalasining qo’yilishi. Pontryaginning maksimum prinsipi. Reja

1-misol.

Bu yerda t₁>0 vaqt momenti berilgan, boshqaruvlar to’plami V=R¹.Bu masala sodda bo’lib, uning yechimi juftlikdan iborat. Shu yechimni maksimum prinsipi (1-teorema) dan foydalanib topish mumkin. Haqiqatan ham, Gamilton-Pontryagin funksiyasi yordamida qo’shma sistemani yozamiz:

Agar a₀=0 bo’lsa, H=ψu funksiya V=R¹ to’plamda yuqori chegarasiga faqat ψ=0 bo’lganda erishadi. Ammo a₀=ψ=0 shart maksimum prinsipiga ziddir. Demak, a₀>0 . U vaqtda a₀=1 deb hisoblash mumkin. Bu holda funksiya u bo’yicha R¹ da yuqori chegarasiga nuqtada erishadi. U vaqtda maksimum prinsipining chegaraviy masalasi

ko’rinishda yoziladi. Bu masalaning yagona yechimi bo’ladi. U vaqtda -bu bizga ma’lum optimal boshqarishdir.
2-misol.

Gamilton-Pontryagin funksiyasi

ko’rinishda bo’ladi. Qo’shma sistemani tuzamiz:

Agar a₀=0 bo’lsa, H=ψu funksiya u bo’yicha aniq yuqori chegarasiga V=R¹ to’plamda faqat ψ=0 bo’lganda erishadi. Bu esa, maksimum prinsipiga ziddir. Demak, a₀>0 ya’ni a₀=1 deb olish mumkin. U vaqtda funksiyaning uV=R¹ bo’yicha aniq yuqori chegarasiga nuqtada erishiladi. Maksimum prinsipining chegaraviy masalasi

bo’ladi. Bu yerdagi differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi

ko’rinishda topiladi, bu yerda c₁,c₂ -ixtiyoriy o’zgarmaslar. x(0)=0 shartni hisobga olib c₂=0 ekanligini topamiz. U vaqtda shartdan tenglikni olamiz. t₁≠k(k=1,2,…) bo’lganda, bu yerdan, c₁=0 bo’lishi kelib chiqadi va maksimum prinsipi chegaraviy masalasi yagona yechimga ega, optimallikka shubhali boshqaruv esa, bo’ladi. Agar t₁=k(k=1,2,…) bo’lsa, maksimum prinsipi chegaraviy masalasi cheksiz ko’p yechimga ega: , bu yerda s₁-ixtiyoriy o’zgarmas. U vaqtda optimallikka shubhali boshqaruv ham cheksiz ko’p bo’ladi:
.
Topilgan boshqaruv optimal bo’ladimi? Bu savolga javob t₁ ning qiymatiga bog’liq. t₁> va 0₁< bo’lgan hollarni qaraymiz.
1) t₁> bo’lsin. U vaqtda ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun boshqaruvlar ketma-ketligini va ularga mos trayektoriyalar ketma-ketligini qaraymiz. U vaqtda

Demak, t₁> bo’lganda qaralayotgan optimal boshqarish masalasi yechimga ega emas. Maksimum prinsipi chegaraviy masalasi esa yuqorida ko’rsatildiki, t₁≠k bo’lganda yagona yechimga ega, t₁=k bo’lganda esa cheksiz ko’p yechimga ega.

2. 
   0₁< bo’lsin. Shunday bo’lakli-uzluksiz v(t) funksiyalarni qaraymizki, masala yechimga ega bo’lsin. U vaqtda shu x=v(t) funksiyalar uchun quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:
   

t₁< bo’lganda u(t)0 va t₁= bo’lganda funksiya uchun J(u)=0 bo’ladi. Demak, t₁< bo’lganda qaralayotgan optimal boshqarish masalasi yagona u(t)0(0₁) yechimga ega, t₁= bo’lganda esa cheksiz ko’p - ixtiyoriy o’zgarmas ) yechimga ega.