7-mavzu. Chiziqsiz dasturlash masalalari 1-ma’ruza rejasi

1-teorema. Agar
kvadratik formadagi.
(10)
determinantlar noldan farqli bo’lsa, ni quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin:
,
bu yerda
.
Isbot. Teorema shartiga ko’ra bo’lgani sababli Q formada x₁ ni ajratib, uni quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin:

D₂≠0 bo’lganligi uchun ning oldidagi koeffitsient noldan farqli. Shuning uchun uchburchakli almashtirishni bajarib, ikkinchi kvadratni ajratish mumkin. Faraz qilaylik, k ta kvadrat ajratilgan bo’lsin. U holda Q forma quyidagi ko’rinishga keltirilgan bo’ladi
.
D_k+1≠ 0 bo’lgani uchun uchburchakli almashtirishni yana bir marta bajarib, yana bir kvadratni ajratish mumkin. Shunday qilib, uchburchakli almashtirishni n marta bajarib Q(x₁,...,x_n) formani kanonik ko’rinishga keltiriladi. (10) determinantlar uchburchakli almashtirishga nisbatan invariant bo’lganliklari uchun ni hosil qilib, D matritsani shunday diagonal ko’rinishga keltiramizki, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

,
bu yerda
.
larning har biri noldan farqli bo’lganligi uchun
.
Demak, teorema isbotlandi.
Shunday qilib, a_i koeffitsientlarning ishorasi D_i determinantlarning ishoralariga bog’liq ekan.
Kvadratik formaning ko’rinishini aniqlashda quyidagi hollar ro’y berishi mumkin:
1-hol. Agar D₁,D₂,...D_n determinantlarning har biri musbat bo’lsa, a_i koeffitsientlar ham musbat bo’lib, Q kvadratik forma musbat aniqlangan bo’ladi.
2-hol. Agar 1,D₁,D₂,...D_n sonlar ketma ketligida ishoralar navbat bilan almashib kelsa, a_i koeffitsientlar manfiy bo’lib, Q forma manfiy aniqlangan bo’ladi.
3-hol. Agar D matritsaning rangi rbo’lsa hamda D₁,D₂,...D_r determinantlar musbat ishorali bo’lib, qolganlari nolga teng bo’lsa, Q kvadratik forma nomanfiy aniqlangan bo’ladi.
4-hol. Agar D matritsaning rangi r bo’lib, 1,D₁,D₂,...D_n qatorda ishoralar almashib kelsa hamda D_r+1 =D_r+2=...=D_n=0 bo’lsa Q kvadratik forma nomusbat aniqlangan bo’ladi.
5-hol. Agar 1,D₁,D₂,...D_n sonlar ketma ketligida ishoralar almashmasa hamda manfiy ishorali D_i determinantlar mavjud bo’lsa, Q kvadratik formaning ishorasi aniqlanmagan bo’ladi.
2-misol. Kvadratik formaning ko’rinishi aniqlansin:
Q(x₁,x₂,x₃)=-2x₁²+2x₁x₂-3x₁x₃-x₂²+2x₂ x₃-4x₃²
Yechish:

1. D₁, D₂ D₃ sonlar ketma ketligida ishoralar navbat bilan almashuvchi bo’lganligi sababli forma manfiy anqlangan bo’ladi