7-mavzu. Funksiyalarni Lagranj interpolyatsion formulasi yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash

Ma’ruzachi: dots. S.S.Sadaddinova 

 

1 

 

7-mavzu. 

 Funksiyalarni Lagranj interpolyatsion formulasi yordamida 

approksimatsiyalash va egri chiziq yasash 

 

 

 

Reja: 

        1. Masalaning qo’yilishi 

        2. Chiziqli interpolyatsiyalash 

        3. Kvadratik  interpolyatsiyalash 

        4.  Lagranj  interpolyatsion  ko‘phadi 

Tayanch  so’zlar:    funksiya,    Lagranj  ko’phadi,  interpolyatsiya,  approksimatsiya, 

maqsad funksiyasi, chiziqli interpolyatsiya, kvadratik interpolyatsiya 

 

1. Masalaning qo‘yilishi  

 

Ko‘pincha  amaliy  masalalarni  yechishda  qandaydir 

)

(x

f

y



  funksional 

bog‘lanishlar  qiymatlarini  hisoblashga  to‘g‘ri  keladi.  Bunday    masalalarda      ikkita 

holat  bo‘lishi mumkin: 

1.  [a,  b]    oraliqda    х  va  y    orasidagi  oshkor  bog‘lanish  ma’lum  bo‘lmasdan, 

faqat    {x

i

,  y

i

}, 

n

i

,

1



    tajriba  ma’lumotlari  jadvali  ma’lum  bo‘lib,  [x

i

,  x

i/2

] 



  [a,  b]  

oraliqda   

)

(x

f

y



  bog‘lanishni  aniqlash    talab  qilinadi.  Bu  masalaga  tajriba 

ma’lumotlari jadvalidagi qiymatlarni aniqlashtirish vazifasi ham kiradi.  

2.   

)

(x

f

y



  bog‘lanish    ma’lum  va  uzluksiz,  biroq    u  shu  qadar  murakkabki, 

amaliy  hisoblashlar  uchun  yaramaydi.    Bunday  holda 

)

(x

f

y



  funksiyani  va  uning  

(





b

a

dx

x

f

x

f

x

f

,

)

(

),

(

max

),

(

  va  h.k.)  xarakteristikalarini    hisoblash    ishlarini  

soddalashtirish  masalasi  ko‘ndalang bo‘ladi.   

Shuning  uchun  moddiy  resurslarni  va  vaqtni  iqtisod  qilish  maqsadida 

qandaydir boshqa funksional  bog‘lanish  y=F(x)  ni tuzish zarurati paydo bo‘ladi.  Bu 

tuzilgan  bog‘lanish 

)

(x

f

y



  ga  uning  asosiy  parametrlari  bo‘yicha  yaqin  bo‘lishi,  

hisoblash  oson  va  qulay  bo‘lishi  kerak,  ya’ni 

)

(x

f

y



  funksiyaning  aniqlanish 

sohasida  yaqinlashtirish (approksimatsiyalash)  masalasi  hal qilinishi kerak.  

 y = F(x)  funksiyaga  approksimatsiyalovchi funksiya deyiladi. 

Bunday  tipdagi  masalalarni  yechishda    asosiy  yondoshuv    quyidagicha:  

tajribaning    qandaydir    ozod    parametrlariga  bog‘liq    bo‘lgan 

)

(x

F

y



  funksiya 

tanlanadi, ya’ni   y = F(x) = 



(x, c

1

, c

2

, …, c

n

) = 



(x,

c

). 

 f(x)   va  F(x)  funksiyalarning qandaydir yaqinlik shartidan  

c

 vektor tanlanadi. 

c

 

vektorni tanlash usullariga  ko‘ra approksimatsiyaning turli ko‘rinishlari mavjud.    

Ma’ruzachi: dots. S.S.Sadaddinova 

 

2 

 

Agar    yaqinlashish    biror    {x

i

},  i=

n

,

1

    diskret  to‘plamda  qurilsa,  u  holda  

approksimatsiyaga  nuqtaviy  approksimatsiya deyiladi.  

Nuqtaviy approksimatsiyalash turlariga: interpolyatsiyalash; o‘rtacha kvadratik 

yaqinlashish   kiradi.  

2. Chiziqli interpolyatsiyalash 

 

Chiziqli  interpolyatsiyada  jadvalda  berilgan    (x

i

,  y

i

),  (

n

i

,

0



)  nuqtalar  to‘g‘ri 

chiziqlar  bilan  birlashtiriladi  va  dastlabki  berilgan    f(х)    funksiya  [а;  b]  oraliqda 

uchlari interpolyatsiya tugunlaridan iborat  siniq chiziqqa yaqinlashadi. 

Umumiy holda qismiy oraliqlar  [x

i–1

, x

i

]



[a, b]  turlicha bo‘ladi. Har bir siniq 

chiziq  kesmasi  uchun    (x

i–1

,  y

i–1

)  va  (x

i

,  y

i

)  nuqtalardan  o‘tuvchi    to‘g‘ri  chiziq 

tenglamasini  yozish mumkin. Xususiy  holda,   i- interval uchun  2 nuqtadan o‘tuvchi 

to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagicha bo‘ladi: 

 

1

1

1

1



















i

i

i

i

i

i

x

x

x

x

y

y

y

y

 

U holda ishchi  formula:   

,

i

T

i

b

x

a

y





 

,

1

i

T

i

x

x

x







 

 

 (5) 

bunda                                 

1

1

1

1

      

,



















i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

a

y

b

x

x

y

y

a

,  

n

i

,

1



. 

  1-chizmadan ko‘rish mumkinki,  (5) formulani amalga  oshirish uchun oldin  

x

T

  qiymat  tushadigan  oraliqni  aniqlash  kerak,  so‘ngra  bu  oraliq  chegaralaridan 

foydalanish mumkin. 

 

x  

x

x

1  

 

x

T  

y  

y

1  

y

0  

F ( x )  

y   =   f( x )

 

x

0

 

 

Chizma 1.  

 

Tugunlardan tashqari nuqtalarda nazariy xatolik  R(x) = f(x) – F(x) 



 0. 

,

8

)

(

2

2

1

h

M

x

R



  bunda   М

2 

= max

)

(x

f



,  х



[x

i–1

, x

i

].  

Misol.   Jadval bilan berilgan  

)

(x

f

y



  funksiya  qiymatini   x = 0,4  bo‘lgan 

hol uchun chiziqli interpolyatsion  formuladan foydalanib hisoblang: 

Ma’ruzachi: dots. S.S.Sadaddinova 

 

3 

 

 

 

 

 

Yechilishi:  (5) ga asosan ishchi  formulani yozib olamiz:    

y = a

i

x + b

i         

,

1

i

T

i

x

x

x







 

bunda             

1

1

1

1

       

,



















i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

a

y

b

x

x

y

y

a

,   

n

i

,

1



  

                                      x

t 

= 0,4;   0,3 



 x

t

 



0,5;   

 Jadvaldagi          x

i–1 

=  0,3;      x

i 

=  0,5;        y

i–1 

=  0,2;        y

i 

=  1  qiymatlar  yordamida 

koeffitsiyentlarni hisoblaymiz:    

    

;

4

2

,

0

8

,

0

3

,

0

5

,

0

2

,

0

1

1

1





















i

i

i

i

i

x

x

y

y

a

 

             

                                                    

;

1

3

,

0

4

2

,

0

 

1

1



















i

i

i

i

x

a

y

b

 

Demak,    y = 4x–1  funksiya ko‘rinishi aniqlandi.  Endi   x=0,4  qiymat uchun  

hosil bo‘lgan chiziqli  funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz:  y = 4



0,4 – 1 = 0,6. 

 

3. Kvadratik  (parabolik)  interpolyatsiyalash 

 

Kvadratik  interpolyatsiyada  interpolyatsion ko‘phad  sifatida [x

i–1

, x

i+1

]



[а, b]  

oraliqdan olingan kvadrat  uchhad  qaraladi:                      

                                 

,

2

i

i

i

c

x

b

x

a

y







  

1

1









i

T

i

x

x

x

              (6)                                    

Bunda    a

i

,  b

i

,  c

i

    koeffitsiyentlarni  aniqlash  uchun    (3)  shart  asosida  

tenglamalar sistemasi tuziladi, masalan: 









































.

;

;

1

1

2

1

2

1

1

2

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

c

x

b

x

a

y

c

x

b

x

a

y

c

x

b

x

a

   

 (7) 

  Hisoblash  algoritmi    yuqoridagi  mavzuga  o‘xshash,  biroq  (5)  munosabat 

o‘rniga (7) sistemani yechish maqsadida (6) munosabatdan foydalaniladi. Ravshanki,   

x

T



[x

0

, x

n

]  uchun  3 ta eng  yaqin nuqtalar olinadi. 

  Usulning grafik tasviri quyidagicha: 

i 

0 

1 

2 

3 

x

i 

0 

0,1 

0,3 

0,5 

y

i 

–0,5 

0 

0,2 

1 

Ma’ruzachi: dots. S.S.Sadaddinova 

 

4 

 

 

x

0      

x

1 

 

x

2 

Parabola F(x)

 

f(x)

 

 

Chizma 2. 

 

Interpolyatsiya  tugunlaridan tashqarida  nazariy  xatolikni topish formulasi:  

                       R(x) =(x – x

0

) 



 (x – x

1

) 



 (x – x

2

) 

 

.

6

x

f



 

Misol.   Jadval bilan berilgan  

)

(x

f

y



 funksiya qiymatini  x=0,4  bo‘lgan hol 

uchun  kvadratik  interpolyatsion  formuladan foydalanib hisoblang: 

 

 

 

 

Yechilishi: (6) ga asosan ishchi  formulani yozib olamiz:   

y=a

i

x

2

+b

i

x+c

i          

1

1









i

T

i

x

x

x

. 

a

i

, b

i

, c

i

  koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (7) ga ko’ra tenglamalar sistemasini  

tuzish  kerak.  Buning  uchun      x

t 

=  0,4  nuqtaga    eng    yaqin  bo‘lgan  3  ta  nuqtani 

tanlaymiz:              x

i–1 

= 0,1;    x

i 

= 0,3;   

x

i+1 

= 0,5. 

y

i–1 

= 0;       y

i 

= 0,2;   

y

i+1 

= 1. 

va mos tenglamalarni hosil qilamiz:          









































1

1

2

1

2

1

1

2

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

c

x

b

x

a

y

c

x

b

x

a

y

c

x

b

x

a

  



 



























;

1

5

,

0

25

,

0

;

2

,

0

3

,

0

09

,

0

;

0

1

,

0

01

,

0

i

i

i

i

i

i

i

i

i

c

b

a

c

b

a

c

b

a

 

Tenglamalar sistemasini matritsaviy ko‘rinishda yozib olamiz: 

A = 

1

5

,

0

25

,

0

1

3

,

0

09

,

0

1

1

,

0

01

,

0

;   

B

 = 

1

2

,

0

0

;  

X

=

















c

b

a

=A–

B

. 

A

–1 

 teskari matritsani  hisoblab topamiz: 

i 

0 

1 

2 

3 

x

i 

0 

0,1 

0,3 

0,5 

y

i 

–0,5 

0 

0,2 

1 

Ma’ruzachi: dots. S.S.Sadaddinova 

 

5 

 

A

–1 

= 

8

3

8

10

8

15

5

3

45

10

2

25

3

75

6

75









; 

X

 = 

c

b

a

 = 

8

3

8

10

8

15

5

3

45

10

2

25

3

75

6

75









 



 

1

2

,

0

0

; 

Matritsalarni ko‘paytirib, a, b, c  koeffitsiyentlarni aniqlaymiz: 

a = 0 – 

2

25

5

1

3

75





 = 7,5;   b = –2;   c = 0,125; 

Natijada  izlangan funksiya ko‘rinishini olamiz:   y = 7,5x

2 

– 2x + 0,125. 

Endi  x = 0,4 qiymat uchun  hosil bo‘lgan kvadratik funksiyaning son qiymatini 

aniqlaymiz. Natija  y = 0,525  ga teng. 

 

 

         

4.  Lagranj  interpolyatsion  ko‘phadi 

 

Umumiy  ko‘rinishdagi  interpolyatsiyada  interpolyatsion  ko‘phad    x

T

    ning 

aniqlanish sohasida barcha intervallar uchun  (2) ko‘rinishda izlanadi, ya’ni  [x

0

, x

n

] 

uchun: 

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x













...

)

(

2

2

1

0

. 

 

 (8) 

   a

i

  koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (6.3) tenglamalar sistemasi tuziladi: 







































.

...

.

.

.

;

...

;

...

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

x

a

x

a

a

y

x

a

x

a

a

y

x

a

x

a

a

   

 

(9) 

Ma’lumki,  agar    i 



  j    lar  uchun    x

i

 



  x

j

    shart  o‘rinli  bo‘lsa,  tenglamalar 

sistemasi  yagona  yechimga  ega  bo‘ladi.    (9)  tenglamalar  sistemasini  yechish  uchun  

oldin  bayon  qilingan  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasini  yechish  usullaridan 

foydalanish  mumkin.  (9)  sistemani  to‘g‘ridan  to‘g‘ri  yechib,  F(х)  funksiyani    (8) 

ko‘rinishida  olgan  ma’qul,  bunda  bir  nechta  hisoblashlar  bitta  jadval  bo‘yicha 

bajariladi.  y = f(x

T

) ni bir martalik hisoblash uchun   ā  vektor parametrlarini topish 

shart  bo‘lmagan  boshqa  algoritmlar  tavsiya  etiladi,  interpolyatsion  ko‘phadlar  esa  

{x

i

,  y

i

}, 

n

i

,

0



  jadval  qiymatlari  orqali  yoziladi.  Bular  Lagranj  va  Nyuton 

interpolyatsion  ko‘phadlaridir. 

 

Ma’ruzachi: dots. S.S.Sadaddinova 

 

6 

 

a).  Ixtiyoriy  interpolyatsion  tugunlar  sistemasi  uchun  Lagranj  formulasi. 

Lagranj  ko‘phadi  interpolyatsiya  tugunlarida    f(х)  funksiyaning  qiymatlaridan 

tuzilgan  chiziqli    kombinatsiya    ko‘rinishida  izlanadi  va    interpolyatsiya  tugunlari 

sistemasidan maxsus qurilgan qandaydir n– darajali ko‘phaddan iborat bo‘ladi: 

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

0

0

0

x

l

y

x

l

y

x

l

y

x

l

y

x

L

n

n

n

i

i

i

n















.    (10) 

Demak,  oldiniga  (n+1)– darajali yordamchi ko‘phad tuziladi: 

)

)...(

)(

(

)

(

1

0

n

x

x

x

x

x

x

x











    

 

 (11) 

va  n– darajali ko‘phad quyidagicha hosil qilinadi: 

)

)...(

)(

)...(

(

)

(

)

(

1

1

0

n

i

i

i

i

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x























.  (12) 

Ko‘rinib turibdiki,  (11) ko‘phad x

i 

interpolyatsiya tugunlarida nolga aylanadi, 

ya’ni  



(x

i

) = 0, i =

n

,

0

,   (12) ko‘phad  



i

(x)  esa  x

i

  tugunlardan tashqari  barcha  

tugunlarda nolga aylanadi, ya’ni: 





























.

,

0

)

)...(

)(

)...(

(

;

,

0

)

(

1

1

0

i

j

x

x

x

x

x

x

x

x

i

j

x

n

i

i

j

i

j

j

j

i

  (13) 

(12) va (13) tengliklardan yangi  begona (chet)  ko‘phad  kelib chiqadi: 

)

)...(

)(

)...(

)(

(

)

(

)

(

1

1

0

n

j

i

j

i

j

j

i

j

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

l



















 

U  j– tugundan boshqa  barcha tugunlarda  nol qiymatni qabul qiladi,  x

j

 tugunda esa 

uning qiymati 1 ga teng bo‘ladi, ya’ni 













;

,

1

;

,

0

)

(

j

i

j

i

x

l

i

j

  

n

j

i

,

0

,



. 

U holda  (10) munosabatga ko‘ra,  j– ko’phad   l

j

(x

i

)



y

j

  barcha tugunlarda  (x

j

 

dan tashqari) nol qiymatni qabul qiladi  va   x

j 

 tugunda  y

j

  ga teng bo‘ladi: 















;

,

;

,

0

)

(

j

i

y

j

i

y

x

l

j

j

i

j

 

n

j

i

,

0

,



 

(10) ga ko‘ra quyidagi ko‘phadni tuzamiz: 



















n

j

n

j

j

i

j

j

j

n

x

x

x

x

y

x

l

y

x

L

0

0

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

, 

bunda   

)

)...(

)(

)...(

(

)

(

'

1

1

0

n

j

j

j

j

j

j

j

x

x

x

x

x

x

x

x

x

















. 

Yoki  yana-da qisqa ko‘rinishda  quyidagicha bo‘ladi: 

 













n

j

n

j

i

i

i

j

i

j

n

x

x

x

x

y

x

L

0

0

)

(

 ;    

   (14) 

(14) munosabatning nazariy  xatoligini aniqlash mumkin:  

Ma’ruzachi: dots. S.S.Sadaddinova 

 

7 

 

)

(

)!

1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

(

x

n

f

x

L

x

f

x

R

n

n

n

















,   bunda 



[a, b]. 

(8)    ko‘phaddan    farqli  ravishda  bu  yerda  barcha  koeffitsiyentlarni  oldindan 

aniqlash    talab  qilinmaydi.  Biroq    har    bir    x

Т       

uchun    (14)    texnologiya  asosida 

Lagranj    ko‘phadini    hisoblash    kerak.  Shuning  uchun  ham  hisoblash  hajmi  (9) 

hisoblash texnologiyasiga  nisbatan  farq qilmaydi.  

Amaliyotda  agar    turli    x

Т

    lar  uchun  ko‘p  sonli    takroriy  hisoblashlar    talab 

qilinsa,    u  holda  (8) sxemadan  foydalangan  ma’qul.   Lagranj  ko‘phadi boshqa sonli  

usullarni    amalga    oshirishda  ham    keng  qo‘llaniladi.    Shuni  alohida  ta’kidlash 

kerakki,    n  =  1    bo‘lganda  bu    chiziqli,    n  =  2  bo‘lganda  parabolik  interpolyatsiya 

hisoblanadi.  

b).  Teng   uzoqlashgan   interpolyatsion tugunlar  sistemasi uchun Lagranj 

formulasi. Interpolyatsion tugunlar orasidagi masofa  h = x

i+1 

– x

i

 = const   o‘zgarmas 

bo‘lsin. U  holda  ixtiyoriy  tugunni quyidagicha yozish mumkin: 

x

i

 = x

0

+i



h, 

n

i

,

0



. 

Yangi o‘zgaruvchi kiritamiz:  

h

x

x

t

0





.  U holda 

x – x

i 

= x

0 

+ th – x

0 

– ih = (t – i)h  .              (15) 

(15)  ayirmani  (11)  tenglikka qo‘yib, quyidagini hosil qilamiz: 

















h

n

t

h

t

th

x

x

x

x

x

x

x

n

)

...(

)

1

(

)

)...(

)(

(

)

(

1

0



1

)

)...(

1

(







n

h

n

t

t

t

 

So‘ngra,  x

j

 – x

i 

= (x

0 

+ jh) – (x

0 

+ ih) = (j – i)h  ekanligidan,  (15)  dan foydalanib,  

Lagranj  formulasini hosil qilamiz: 

 













n

j

n

j

i

i

j

n

i

j

i

t

y

x

L

0

0

)

(

,             (16) 

bunda  

h

x

x

t

0





. 

(16) ning nazariy  xatoligini aniqlash mumkin: 

)!

1

(

)

(

)

)...(

1

(

)

(

)

1

(

1















n

f

n

t

t

t

h

x

R

n

n

n

. 

Misol.    Jadval  bilan  berilgan    y=f(x)  funksiya  qiymatini    x=0,4    bo‘lgan  hol 

uchun Lagranj  interpolyatsion  formulasidan foydalanib hisoblang: 

 

 

 

 

Yechilishi: (14) ga asosan ishchi  formulani yozib olamiz:  

i 

0 

1 

2 

3 

x

i 

0 

0,1 

0,3 

0,5 

y

i 

–0,5 

0 

0,2 

1 

Ma’ruzachi: dots. S.S.Sadaddinova 

 

8 

 

 













n

i

n

i

j

j

j

i

j

i

x

x

x

x

y

x

L

0

0

)

(

; 

Bizning  holda  n = 3 gacha, shu sababli: 









 







3

0

3

0

)

(

i

i

j

j

j

i

j

i

x

x

x

x

y

x

L

 































)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

3

1

2

1

0

1

3

2

0

1

3

0

2

0

1

0

3

2

1

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

 































)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

2

3

1

3

0

3

2

1

0

3

3

2

1

2

0

2

3

0

1

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

 

;

5

,

0

12

91

30

3

125

2

3









x

x

x

 

 x = 0,4   bo‘lganda   y 



 L(x) = 0,3999. 

Berilgan  jadval  asosida    n=1    va    x

T

  =  0,4  bo‘lgan    hol  uchun  Lagranj 

ko‘phadini tuzamiz: 





















 







)

(

)

(

)

(

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

x

L

i

i

j

j

j

i

j

i

 

;

1

4

5

,

0

5

,

1

5

)

3

,

0

5

,

0

(

)

3

,

0

(

1

5

,

0

3

,

0

5

,

0

2

,

0

























x

x

x

x

x

 

Bu    esa    chiziqli  interpolyatsion  formula  bilan  ustma-ust  tushadi.  Berilgan  jadval 

asosida  n=2    va  x

T

 = 0,4  bo‘lgan  hol uchun Lagranj ko‘phadini tuzamiz: 

y 



 L(x) =

;

2

0

2

0

 











i

j

i

j

j

i

j

i

x

x

x

x

y

 

Qaralayotgan  [x

1

, x

3

] intervalda                x

0 

= 0,1;      x

1 

= 0,3;       x

2 

= 0,5;   

                                                                    y

0 

= 0;         y

1 

= 0,2;       y

2 

= 1 

qiymatlarni olamiz.  U holda 2–tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadi hosil bo‘ladi: 

.

125

,

0

2

5

,

7

)

3

,

0

5

,

0

)(

1

,

0

5

,

0

(

)

3

,

0

)(

1

,

0

(

1

)

5

,

0

3

,

0

)(

1

,

0

3

,

0

(

)

5

,

0

)(

1

,

0

(

2

,

0

)

(

2

































x

x

x

x

x

x

x

L

y

 

Bu  tenglik  kvadratik  interpolyatsiya  formulasi  bilan  bir xil. 

 

Mavzu yuzasidan savollar: 

1.  Approksimatsiyalash deganda nimani tushunasiz? 

2.  Nuqtaviy  approksimatsiyalash  va uning turlari. 

3.  Interpolyatsion ko‘phad  qanday tuzilishga ega? 

4.  Lagranj      interpolyatsion    ko‘phadi    va  uning  nazariy  xatoligi  qanday 

aniqlanadi?