7. Назарийнинг дифференциал тамойиллари механика

7. Назарийнинг дифференциал тамойиллари механика
7.1. Эрксиз тизимларга мисоллар
Келинг, юқорида келтирилган умумий таърифларнинг мисоллари билан тушунтиришни кўриб чиқайлик.
Мисол 1. Математик маятник - вертикал текисликдаги бир ҳил тортишиш майдонида айлана ёйи бўйлаб тебранадиган m массали моддий нуқта. Маятник чўзилмайдиган ипга осилган юк шаклида тасаввур қилинади. Маятник ҳолатини юкнинг декарт координаталаридаги x, y билан белгилаш мумкин. Бу координаталар ўзаро муносабатлар орқали боғланган
x²+y²-l²=0 (7.1)
бу эрда l - маятникнинг узунлиги.
Маятник ўрнини белгилайдиган координата сифатида берилган l узунлик учун вертикалдан бурилиш бурчаги дан фойдаланиш осонроқ, бу бурчакни соат стрелкасига тескари хисобланади. Бурчакдан фойдаланишнинг афзалликлари:
1)координаталар сони камроқ (иккита ўрнига битта);
2) - координатага боғлиқ эмас, x, y (7.1) тенглама билан боғлиқ.
Тенглама (7.1) - бу динамик ҳаракат тенгламаларига боғлиқ бўлмаган, олдиндан белгиланган чекловларни ўзида акс эттиради. Бу чекловлар боғлиқликлар деб аталади. Боғланишлари (7.1) ҳолономик, стационар ва тутиб турилувчи бўлади. Ҳолономик боғлиқлик фақат координаталарни ўз ичига олади; стационар боғлиқлик аниқ t вақтини ўз ичига олмайди, тутиб турилувчи боғлиқлик тенгсизлик билан эмас, балки тенглик билан ифодаланади.
Оғирлик кучига қўшимча равишда, ипнинг эластик кучи юкга таъсир қилади - боғланиш реакцияси. Оғирлик кучи олдиндан аниқланган ва у фаол ҳисобланади. Боғланиш реакцияси (пассив куч) олдиндан аниқланмаган, уни механика тенгламаларидан аниқлаш керак; унинг қиймати фаол куч катталигидан келиб чиқади.
Маятникнинг виртуал (мумкин) силжишини кўриб чиқамиз. Белгиланган t вақтда юкнинг координаталари x, y га тенг бўлсин. Бир-бирига чексиз яқин t вақт моментида координаталар орасидаги фарқ ва мос келадиган позициялар маятникнинг виртуал ёки мумкин бўлган силжишини аниқлайди. Иккала ифодада ҳам боғлиқликлар тўғри бўлгани учун, (7.1) билан бир қаторда, биз қуйидаги тенгликка ҳам эгамиз.
^{2 2 2} (7.2)
(7.2) дан тенгликни (7.1) чиқариб, биз қуйидаги ифодани оламиз
^{2 2} (7.3)
Виртуал силжиш координаталарнинг ўзгариши билан аниқланади, улар таъриф бўйича боғлиқликлар тенгламаларига мос келиши керак, шу жумладан, ўсишнинг асосий чизиқли қисмигача аниқлик билан. Бу шуни англатадики, агар биз (7.1) да фақат чизиқли элемент(аъзо)ларни сақласак, координаталарнинг ўзгариши учун тенглама оламиз. Шундай қилиб, ҳар қандай t момент учун координаталарнинг ўзгариши тенгликни қондиради.
(7.1) боғланиш идеал ҳисобланади. Бу дегани: қайта ишлаш ҳар қандай виртуал ҳаракатдаги акция нолга тенг. Ҳақиқатан ҳам,

Ишнинг нолга тенглигини реакция вектори перпендикуляр эканлигинидан ҳам хулоса қилиш мумкин.
Мисол 2. Горизонтал текисликда ишқаланмасдан силжий оладиган брусокга осилган математик маятник. Тизим массалари ₁ 1 1 2 2 2 бўлган иккита моддий нуқтадан иборат. Бу нуқталарнинг тўртта координатаси иккита боғлиқлик тенгламасини қондиради:
1 (7.4)
2 1 ² 2 1 ^{2 2} (7.5)
Бу тенгламаларни ҳар хил қилиб ўзгартириб биз координаталарнинг ўзгариш чегараларини топамиз

Бу ерда Координаталарнинг иккита мустақил ўзгариши мавжуд: 4-2 = 2. Учта 1 2 2 вариантдан иккитаси эркин(мустақил) танланиши мумкин; кейин қолган иккитаси (7.6) тенглама ёрдамида аниқланади. Натижада сиз тизимнинг сон-саноқсиз виртуал ҳаракатларини олишингиз мумкин. Боғланишлари ҳолономик, стационар ва тутиб турилувчи бўлади.
Мисол 3. Конкидаги спортчи трамплинда сирпаниб, ундан чиқиб кетади ва ҳавода учади, кейин яна қайтади. Трамплин билан боғланганлик: ҳолономик, стационар, тутиб турилмайдиган. Боғланишдан ажралишнинг шарти - боғланиш реакциясининг йўқ бўлиб кетиши.
Мисол 4. Математик маятник v доимий тезлик билан ҳаракатланадиган платформада жойлашган.
2 -мисолдаги маятникдан фарқли ўлароқ, бу эрда кўриб чиқилаётган маятникнинг икки эмас, балки бир даража эркинлиги бор. Боғлиқлик тенгламалар қуйидаги кўринишга эга:
1 , ₁ ,
_{2 1} ² _{2 1} ^{2 2}
Бу тенгламаларни ўзгартириб, яъни ўзгармас t вақ учун дифференциаллаб, топамиз
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Тенгламадаги δx₁=0 виртуал ҳаракатни стационар чизиқ ёрдамида амалга оширилишини билдиради. Ҳолономик, турғун бўлмаган, чекланган боғлиқликлар.
Хулоса қилиб айтганда, баъзи умумий қоидаларга тўхталиб ўтамиз.
1. Тизим нуқталарининг ҳақиқий силжишлари берилган кучлар таъсирида вақт ичида боғланишлар билан содир бўлади; бу силжишлар ҳам ҳаракат кучларига ҳамда боғлиқликларга мос келади. Мумкин бўлган силжишлар фақат "музлатилган" боғлиқликларга мос келади, кучлар эътиборга олинмайди.
Стационар боғлиқликлар бўлганда тизимнинг ҳақиқий чексиз кичик силжиши геометрик жиҳатдан мумкин бўлган силжишлардан бирига тўғри келади.
Мумкин бўлган силжишлар системанинг t моментдаги ҳолати t моментдаги боғланишларга мос келувчи чексиз яқин ҳолат нуқталарининг радиус векторининг (ёки координаталарининг) фарқлари билан аниқланади. Радиус векторларидаги бу фарқлар _{1 2 N} билан белгиланади ва уларнинг декарт ўқларидаги проекциялари _{1 1 1 N N N}. Бундай миқдорлар радиус векторлари ёки координаталарнинг изохрон ўзгаришлари дейилади.
Келинг, умумий шаклда координаталарнинг ўзгаришини боғлайдиган тенгламаларни топайлик. 1 1 1 N N N функциясини қисқароқ қилиб деб ёзишга келишиб олайлик; Бу ерга тизимининг барча нуқталарининг t вақтдаги координаталари тушунилади. Фараз қилайлик улар ҳолономик боғлиқликлар тенгламаларини қаноатлантирсин, боғлиқликлар сони l га тенг:

Т моментидаги боғлиқликларга мос келадиган тизимнинг чексиз яқин позициясини кўриб чиқайлик ва келинг нуқталарнинг тегишли координаталарига мос келсин. Чунки бу координаталар t вақт моментида боғлиқлик тенгламаларини қаноатлантиради,
.
Олдинги тенгламаларни охирги тенгламадан чиқариб, фарқнинг асосий чизиқли қисми бўлган виртуал жой алмашиш контсепциясининг таърифига кўра, биз оламиз.
.
Бу ерда кўпайтувчилар k, k баъзи константалардир, чунки тенгламалар маълум t момент ва системанинг мос ҳолати билан боғлиқ. L та бир ҳил чизиқли тенгламалар системаси координаталарнинг изохли вариациялари бўйича чекланишлар системасидир.
2. Агар уларнинг тенгламалари фақат координаталар ва вақтни ўз ичига олган тенгламаларга камайтирилмаса, муносабатлар нолономик дейилади. Кейинчалик, биз фақат шаклнинг тезлигига нисбатан чизиқли бўлган ҳаволаларни кўриб чиқамиз
бк к бк к б бк к
бу эрда А, Б, C, Д коэффитсиэнтлари координаталарга боғлиқ бўлиши мумкин
аниқ нуқталар ва вақт. Агар А бк , бк , бк аниқ т га боғлиқ бўлмаса , уланиш стационар бўлади.
Агар нолономик алоқалар бўлмаса , координаталарнинг 3Н ўзгариши
нат 1 1 1 Н Н Н л тенгламалар билан боғлиқ. 3Н вариантларининг умумий сонидан л ни тенгламалардан топиш мумкин, агар фақат қолган 3Н - л вариантлари қандайдир тарзда (ўзбошимчалик билан, лекин мақбул чегаралар ичида) танланса. Шунинг учун координаталарнинг 3Н хилма -хиллиги орасида 3Н - л мустақил ва л га боғлиқ деб ишонилади.
Тизимнинг эркинлик даражалари сони - бу механик тизимнинг мустақил мумкин бўлган силжиши ёки координаталарнинг мустақил ўзгариши сони.
Эркинлик ҳолономик тизими даражалари тизимнинг космосдаги ўрнини белгилайдиган мустақил координаталар сонига тўғри келади.
Агар ҳолономикдан ташқари, ноҳолономик чекловлар ҳам бўлса, иккинчиси қўшимча равишда координаталарнинг ўзгаришини чеклайди, кейин эркинлик даражалари сони тизимнинг позициясини ноҳолономик чекловлар сони бўйича белгилайдиган мустақил координаталар сонидан кам бўлади..
Тўсиқ бўғинларининг характерли хусусияти шундаки, механик тизим нуқтасининг ҳар қандай мумкин бўлган ҳаракати учун унга қарама -қарши ҳаракат мавжуд, бу ҳам мумкин. Чекловсиз чекловлар-бу механик тизимнинг нуқталари мумкин бўлган силжишларга эга бўлганлар, бунинг акси мумкин эмас. Аналитик жиҳатдан тўхтаб бўлмайдиган алоқалар тенгсизликлар билан ифодаланади
Мисол: шарнинг юзасида айланаётган тўп, тўхтаб бўлмайдиган уланиш (этарлича юқори тезликка эга бўлган ҳолда , шар шардан ажралиб, эркин танадек ҳаракатланади - параболада).
Сиртлар мукаммал силлиқ бўлганда барни эğимли текислик бўйлаб силжитиш - боғланиш мукаммалдир.
Қаттиқ юзали жисмларни сирпанмасдан силжитиш - бу идеал чекловдир (ҳолономик ва нолономик бўлмаган тизимлар учун).
Мутлақо қаттиқ жисмни доимий масофаларда бўлиш шарти билан бўладиган зарралар мажмуаси деб ҳисоблаш мумкин, яъни. идеал ҳолономик қамоқ чекловлари бўлган тизим сифатида.
Ҳақиқий силжиш бўйича идеал чекловлар реакцияларининг иши, агар чекловлар стационар бўлса, нолга тенг, ва агар чекловлар ҳаракатсиз бўлса, умуман нолга тенг.
7.2. Виртуал ҳаракат тамойили
Виртуал ҳаракат принципи статик принципдир. Статика - механиканинг кучлар таъсиридаги мувозанат шароитлари ўрганиладиган механика бўлими. Мутлақо қаттиқ жисм статикасида кучлар тизимини эквивалент кучлар тизимига айлантириш операциялари ҳам кўриб чиқилади. Кучларнинг эквивалент тизимлари бир хил марказга (ҳар қандай) нисбатан бир хил асосий вектор ва бир хил асосий моментга эга. Механик тизимнинг мувозанати бу тизимнинг ҳолати сифатида тушунилади, бунда унинг қўлланиладиган кучлар таъсиридаги барча нуқталари кўриб чиқилган мос ёзувлар тизимига нисбатан тинч ҳолатда қолади. Агар координата системаси инерсиал бўлса, мувозанат абсолют , система инертиал системага нисбатан тезланиш билан ҳаракат қилса, мувозанат нисбий дейилади.
Статикани қуришнинг бир неча усуллари мавжуд - график, геометрик (мустақил аксиомалар тизимига асосланган), аналитик - мумкин бўлган силжиш принципига асосланган. Келинг, аналитик усулни кўриб чиқайлик.
Статик принцип оддий машиналар назариясини умумлаштириш натижасида шаклланади. Уни дъАлемберт принципи билан бирлаштириб, биз уни динамога ўтказамиз.
Механиканинг кейинги ривожланиши учун виртуал жой алмаштириш принципи муҳим аҳамиятга эга эди. Лагранж ҳар қандай механик тизим учун мувозанат шартларини топишни осонлаштирадиган умумий принципни ўрнатди.
Теорема - идеал стационар туташтирувчи бўғинларга эга бўлган механик тизим мувозанатининг зарурий ва этарли шарти - бу тизимнинг ҳар қандай мумкин бўлган силжиши бўйича барча фаол кучлар ишининг нолга тенглиги (ва ҳамма нуқталар тезлигининг нолга тенглиги). вақтнинг бошида).
Зарурат - ҳаракати Тенглама к к к к барча нуқталари тезлаштириш нолга тенг, чунки у, мувозанат ҳолатда эканлигини қуйидагича, тенглик
к к
Ҳар бир нуқтага қўлланиладиган кучларнинг геометрик йиғиндиси нолга тенг. Келинг, виртуал ҳаракат ҳақида тизимга хабар берайлик. Келинг, тенгликни к га кўпайтирамиз ва балларни йиғамиз. Биз оламиз
...
Уланишлар идеал бўлгани учун, тенгламанинг ўнг томонидаги иккинчи атама ёъқолади ва биз ниҳоят оламиз
(7.7)
- зарурат шарти.
Адекватлик. Биз тизимнинг ҳар қандай виртуал жой алмашишидаги барча фаол кучларининг иши йиғиндиси нолга тенг, ва тизим т о Ъ з вақтида дам оладиган таклифдан келиб чиқамиз :
Тизимнинг уланишлари стационар, ушлаб турувчи.
Виртуал жой алмашиш тамойилига асосланиб, Лагранж барча статикани яратди ва муаммоларни ҳал қилишнинг янги усулини берди.
Стационар бўлмаган чекловлар бўлган тизимларнинг мувозанати фақат алоҳида ҳолатларда мумкин.
7.3. Виртуал ҳаракат тамойилини қўллаш
Келинг, аввал космосда ҳаракатланувчи мутлақ қаттиқ жисмга қўлланиладиган кучлар ишининг ёрдамчи формуласини олайлик. А қаттиқ кичик зарралар (оммавий балл) бир тўплам сифатида тасаввур ва заррача қилайлик к куч к э К и к ташқи ва ички кучлар геометрик йиғиндисини -. Тананинг ўзбошимчалик билан чексиз кичик силжиши бўйича кучларнинг бошланғич иши
к к к к к о к кокк к к к к вектор алгебрасидан).
Бу эрда о - қутбнинг тезлиги - тананинг О нуқтаси , унинг танлови ихтиёрий; тананинг айланиш тезлиги.
Ички кучларнинг мулки билан, бизда ниҳоят бор
э о э о , (7.8)
қаэрда э ташқи кучларнинг асосий вектор бўлиб, э о қутб, уларнинг асосий он нисбий бўлиб О.
(7.8) формуладан фойдаланиб, мутлақ қаттиқ жисмнинг мувозанат ҳолатини чиқарамиз. Мумкин бўлган жой алмашиш принципига кўра, мувозанатнинг шарти тенгликнинг бажарилиши:
э о э о. (7.9)
Келинг, алоҳида ҳолатларни кўриб чиқайлик:
1) тана эркин ; о ва ўзбошимчалик билан олиниши мумкин ва шунинг учун
э э о (7.10)
Эркин қаттиқ жисм мувозанатининг зарур ва этарли шарти асосий векторнинг нолга тенглиги ва танага қўлланиладиган кучларнинг асосий моментидан иборат (ҳар қандай собит нуқтага нисбатан момент);
2) тананинг О нуқтаси собит: о Формула (7.9)
э о ихтиёрий э шаклини олади
вектор о
Қаттиқ жисмнинг битта собит нуқтаси билан мувозанат бўлиши учун, қўлланиладиган фаол кучларнинг тананинг собит нуқтасига нисбатан асосий моменти нолга тенг бўлиши ва тананинг бошланғич ҳолатида тинч ҳолатда бўлиши зарур ва этарли. кучларни қўллаш) моменти.
Номукаммал уланишлар ҳолатида ҳам виртуал жой алмаштириш принципи қўлланилади. Агар, масалан, ишқаланиш кучи бўлса, уни фаол кучлар деб таснифлаш керак.
Ушбу принципдан фойдаланиб, сиз идеал уланишларнинг реакцияларини ҳам аниқлашингиз мумкин. Алоқа ақлий равишда ёъқ қилинади ва унинг ўрнига реакция келади, у кейинчалик фаол куч сифатида қаралади.
Бу тамойил ҳам ҳолономик, ҳам ноҳолономик тизимлар учун амал қилади.
7.4. ДЪАлемберт принципи
Тананинг эркин ҳаракатланиши муаммосида жисмларнинг тезлашиши, ипларнинг таранглиги, блоклар ўқларининг реакциялари, рулманлар ва бошқалар номаълум бўлиши мумкин. (масалан, блок устида ташланган ип билан боғланган иккита оғирликдаги муаммоларда). Техникаларни бирлаштириб, турли теоремалар ва динамика қонунларидан фойдаланиб, умуман номаълум миқдорларнинг барчасини аниқлаш мумкин. Бироқ, бу янада қийин ёъл. ДЪАлемберт эркин ҳаракатланишнинг барча муаммоларини ҳал қилишда қўлланиладиган янада самарали усулни кўрсатди. Тизимнинг ҳаракатини билиш, дъАлемберт принципига кўра, ташқи алоқаларнинг реакцияларини аниқлаш осон (шу билан бирга номаълум ички кучлар чиқариб ташланган); агар сиз тизимнинг алоҳида қисмларини ажратиб кўриб чиқсангиз, ички уланишларнинг реакцияларини ҳам топишингиз мумкин; Сиз ҳаракатнинг дифференциал тенгламаларини ва бошқаларни тузишингиз мумкин.
ДЪАлемберт принципи. М к нуқтанинг ҳаракатсизлик мосламасига нисбатан ҳаракат тенгламаси (7.11) шаклида ифодаланади.
бу эрда к - м к нуқтага қўлланиладиган фаол куч ; к - пассив куч. - к к вектори м к заррасининг дъАлемберт инерт кучи дейилади. Биз таъкидлаймизки, инертиал мос ёзувлар тизимига нисбатан, м к нуқтанинг тезлигининг ўзгариши "дъАлемберт инертиал кучлари" эмас, балки фаол кучлар к ва уланишлар (пассив кучлар к ) таъсири остида содир бўлади. Шу маънода "дъАлемберт инертлик кучлари" хаёлий ва тушунчанинг ўзи шартли. Тенглик (7.11) дъАлемберт принципини ифодалайди: вақтнинг ҳар бир моментида механик тизимнинг ҳар қандай нуқтаси учун фаол кучнинг геометрик йиғиндиси , уланиш реакцияси ва дъАлемберт инерт кучи тенгдир. нол.
Агар исталган вақтда тизим ва к нинг барча нуқталари билан алоқани тўхтатса фаол кучлар к , уланиш реакцияси к ва инертия кучлари к таъсир қилса , тизим ёлғиз қолади. Шунинг учун айтилган кучлар мувозанатли дейилади.
Тамойилини қўллаш натижа ҳисобланади баёнот : ҳаракатда ҳар бир пайтда, фаол кучлар геометрик йиғиндиси (асосий вектор), алоқа ва тизими аталет кучлари реакция, шунингдек дақиқаларини йиғиндиси (асосий он) бу кучлар нолга тенг бўлади:
(7.12)
Бу тенгламаларни ақлий тўхтаган тизимга боғлаш мумкин, шунинг учун кучлар моментлари олинган О маркази сифатида ихтиёрий собит нуқтани олиш мумкин. Бу кучларнинг ихтиёрий стационар ўқига нисбатан моментлари йиғиндиси ҳам нолга тенг (тизимнинг "тўхташидан" олдин нуқта ва ўқ ҳаракатланиши мумкин). Қаттиқ жисм текис-параллел ҳаракатда бўлган ҳолатга (7.12) тенгламаларни қўллайлик. Тана массаси марказининг ҳаракат тенгламалари ва ҳаракат текислигига перпендикуляр масса марказидан ўтувчи C з ўқи атрофида тананинг айланиш тенгламалари шаклга эга.
c к к (7.13) cз cз к cз к
ЭЪтибор беринг, масса марказининг трансляцион ҳаракатланувчи тизимига нисбатан тананинг айланиш тенгламаси худди инерсиал системанинг тенгламаси билан ёзилган). Бошқа томондан, тўхтаган жисм учун тенгликлар (7.12)
к к к
cз к cз к cз к , (7.14)
бу эрда моментларнинг йиғиндиси ҳаракат текислигига перпендикуляр бўлган масса марказидан ўтувчи Cз ўқига нисбатан олинади (ўқга яқин куч моментларининг йиғиндиси)
Cз ).
(62.4) ва (62.3) тенгламаларни солиштириб, биз оламиз
(7.15)
Шундай қилиб, 1) жисмнинг ҳаракатсизлик кучлари дъАлмбертнинг асосий вектори унинг массаси марказининг инертия кучига тенг, бунда бутун тананинг массаси жамланган, 2) текислик билан тананинг параллел ҳаракати, дъАлемберт ҳаракатсизлик кучлари моментларининг йиғиндиси марказий ўқ атрофида ҳаракат текислигига перпендикуляр - cз , яъни. жисмнинг марказий ўқи Сз га нисбатан инерция моменти ва минус белгиси билан тананинг бурчак тезланишининг маҳсулотига тенг.
Биринчи натижа ҳар қандай ҳаракат учун тўғри келади.
Агар танада Cз ўқига перпендикуляр бўлган Cхй моддий симметрия текислиги бўлса, натижада, текислик-параллел ҳаракат учун ( Cхй текислигига параллел ; C- масса маркази), иккита тенглик тенгламаларга қўшилади ( 7.15)
тенгламалар: Cх к Cй к
Хулоса қилиб шуни таъкидлаймизки, дъАлемберт к к к инертиал кучлари инертиал мос ёзувлар тизимига нисбатан ҳаракатни кўриб чиқишда киритилади. Амалдаги кучларга дъАлмбертнинг инертиал кучларини қўшишни, ҳаракатни ўрганишни мувозанатни ҳисобга олишгача камайтирадиган (ҳар қандай ҳаракат лаҳзасида) услубий усул деб ҳисоблаш керак.

7.5. ДЪАлемберт - Лагренж принципи. Механиканинг умумий тенгламаси

ДЪАлемберт тамойилини ҳисобга олган ҳолда, биз тизимнинг барча моддий нуқталари учун инерция кучи тушунчасини киритдик. Бу кучлар қарама -қарши белги билан олинган нуқта массалари ва уларнинг тезланишининг ҳосиласи сифатида аниқланади. Фаол ва пассив кучларга инертия кучларини қўшгандан сўнг, биз ҳаракатланувчи тизимдаги кучлар мувозанатини оламиз. Кучлар мувозанати виртуал жой алмаштириш принципи шартининг бажарилишини англатади. Шундай қилиб, статикага боғлиқ виртуал силжиш принципини динамикага кенгайтириш мумкин бўлади.
Тизим массаси м 1 , м 2 ,..., м Н бўлган моддий нуқталар билан ифодалансин ва бу нуқталарнинг координаталари ҳолономик, ушлаб турувчи, идеал алоқаларни ифодаловчи олдиндан белгиланган тенгламаларни қондиради. Нуқта учун амалий фаол кучлар натижасида м к қилинади томонидан белгиланади К, ва пассив кучлари натижасида - томонидан К. Иккинчи қонунга мувофиқ
Ньютон
к к к к
ёки
к к к к (7.16)
фаол кучлар, пассив кучлар ва дъАлемберт инертлик кучлари "мувозанатли". Энди биз т вақтини тузатамиз ва
cондуcтиве виртуал олиш тизими 1 2 Н.
Биз ҳар бир тенгламани (7.16) мос келадиган к га кўпайтирамиз ва барча тенгламаларни йиғамиз :
Идеал облигациялар таърифига кўра, охирги сумма нолга тенг
(7.17)
Топилган тенглама (7.17) динамиканинг умумий тенгламаси дейилади. У дъАлемберт-Лагранж тамойилини ифодалайди:
идеал ушлаб турувчи бирикмаларга эга бўлган механик тизим ҳаракатининг ҳар бир лаҳзасида ҳар қандай виртуал ҳаракатда фаол кучлар ва дъАлемберт инертия кучларининг иши йиғиндиси нолга тенг бўлади.
Кенгайтирилган шаклда динамиканинг умумий тенгламаси қуйидагича кўринади:
кз к к к , (7.18)
қаэрда Ф КХ , Ф кй , Ф КЗ бўлган фаол қудрати прогнозлар К тегишли ўқлари бўйича; х к , й к , з к - м к нуқтанинг координаталари.
ДЪАлемберт-Лагранж принципи механикадаги энг умумий тамойиллардан биридир. У идеал чекловларга эга бўлган тизимларнинг бутун механикасини қамраб олади (ҳар қандай ҳолономик ва чизиқли нолономик; стационар ва стационар). Кучлар ҳам потенциал, ҳам потенциал бўлмаган бўлиши мумкин.
Агар боғланиш идеал бўлмаса, бу боғланишларнинг математик тенгламаларидан ташқари, реакциялар учун қўшимча физик шартларни ҳам ҳисобга олиш керак. Масалан, агар жисмларнинг ҳаракати ишқаланиш натижасида юзага келса, ишқаланишнинг физик қонуниятларини (қуруқ, ёпишқоқ) ҳисобга олиш зарур. Ишқаланиш кучлари аслида фаол кучлар қаторига киради ва боғланиш реакциясининг нормал компонентлари ҳали ҳам идеаллик шартини к к қондиради. Шундай қилиб, номукаммал уланишлар аслида умумий схемага киритилган.
ДЪАлемберт -Лагранж принципи тизимнинг ҳаракатини аниқлашга асос бўлади: ҳақиқий ҳаракатда, нуқталарнинг тезланишлари шундай бўладики, виртуал жой алмашиш бўйича ишлар (7.17) йиғиндиси ёъқолади. Математик жиҳатдан дъАлемберт - Лагранж принципи вариацион муносабат билан ифодаланади (7.17).
7.6. Мустақил координаталардаги Лагранж тенгламалари
Механик тизим ўзбошимчалик билан кўп сонли заррачалар ёки жисмлардан иборат бўлиши мумкин ва шу билан бирга оз миқдорда эркинлик даражасига эга бўлиши мумкин. Мисол учун, кранк механизми (юлида кранк-род-пистон,-пистон) эга , фақат бир эркинлик даражасига ; механизмнинг ҳаракат тенгламасини фақат битта кранкнинг айланиш қонуни билан аниқлаш мумкин: кранкнинг бурилиш бурчаги (умумлаштирилган координата).
Мустақил координаталарда ҳолономик механик системанинг ҳаракатининг дифференциал тенгламаларини чиқарайлик.
Мустақил координаталарда ҳолономик механик тизимнинг ҳаракат тенгламаларини - иккинчи турдаги Лагранж тенгламаларини - дъАлемберт - Лагранж принципини ифодаловчи умумий динамик тенгламани мустақил координаталарга айлантиришдан иборат. Биз асл тенгламани иккита атамага ажратдик. Биринчи муддат - виртуал ҳаракатдаги фаол кучларнинг иши - и суммаси билан алмаштирилади.
Иккинчи атама к боғлиқликларни ҳисобга олган ҳолда ўзгартирилади
к 1 н , уни тенгламалар деб ҳисоблаш мумкин
Параметрик шаклдаги уланишлар, чунки 1 2 н мустақил. Ўзгартиришлар натижасида биз н алоҳида тенгламалар тизимига бўлинадиган тенгламани оламиз ,
йилдан бошлаб 1 2 н ўзбошимчалик.
Шундай қилиб, агар 1 2 н 1 2 н
тизимнинг кинетик энергияси ва 1 1 2 2
н н ўзбошимчалик билан виртуал силжиш бўйича тизимга қўлланиладиган фаол кучларнинг иши 1 , 2 ,..., н , бу эрда
, 1 ,..., н - дан маълум функциялар 12 2 н ,
1 2 н , (тизим берилганлиги сабабли), кейин тизимнинг ҳаракат тенгламалари шаклга эга
, (7.19)
Лагранж тенгламаларини бирлаштириб, и функцияларини аниқлаймиз , бу бизга радиусни топишга имкон беради
тизим нуқта векторлари
ва кейин к к , ва к
к к к Кейин боғланиш реакцияларини аниқлаш мумкин.