8– amaliy mashg’ulot

8– amaliy mashg’ulot

Avtonom sistemalar. Muvozanat holati turlari.

1.“Eksponensial matrisani hisoblash. Matrisali differensial tenglamalarni integrallash”

“Eksponensial matrisani hisoblash. Matrisali differensial tenglamalarni integrallash” mavzusi bo‘yicha tarqatma material

Ma’lumki, chiziqli tenglamalar sistemasining xususiy yechimlari yechimlar fazosining bazisini tashkil etadi. Bu yechimlar n-chi tartibli matrisa tashkil etadi

.
Bir jinsi tenglamaning yechimidan kelib chiqadi, bu yerda
^.
Demak, sistemaning umumiy yechimi bo’ladi. Agar bo’lsa, Koshi masalasining yechimi shaklda topiladi.
1 – misol tenglamaning umumiy yechimini topamiz.
matrisaning darajalarini topamiz:
^,



Bu yerdan

tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
matrisani hisoblashda A matrisani Jordan kataklariga keltirib hisoblash mumkin.

k o’lchamli Jordan katagi bo’lsa, u holda bu matrisadaga mos eksponensial matrisa quyidagi ko’rinishda bo’ladi

chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi shaklda bo’ladi, bu yerda matrisaning ustunlari A matrisaning xos vektorlari va unga biriktirilgan vektorlaridan iborat.
1xol
Xrakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiyva bir-biriga teng emas.
U xolda (2) tenglama n-ta yechimlarga ega bo’lib ularni
(7)
ko’rinishda yozish mumkin. Isbot etish mumkinkim bular (2) tenglamaning fundamental yechim sistemasini tashkil etadi.U xolda (2) tenglamaning umumiy yechimi
(8)
dan iborat bo’ladi.
Misol-1


2 xol.
Agar xarakteristik tenglama r-karrali λ_s ildizga ega bo’lsa
2- misol. tenglamaning umumiy yechimini topamiz, bu yerdan
.
A matrisaning Jordan matrisasini topamiz. Buning uchun xarakteristik tenglama , ya’ni ni ildizini topamiz. uch karrali ildiz (A-Ye) matrisaning rangi 2-ga teng, bu xos qiymatga xos vektor mos keladi, demak,
, .
S matrisani topamiz xos vektor

tenglikdan aniqlanadi, bu yerdan , - ixtiyoriy noldan farqli son, biriktirilgan vektorlar quidagicha topiladi
va ;
va
bu yerda - ixtiyoriy sonlar, , deb olsak , , bo’ladi.Demak:
, ,
bu yerdan yechimning umumiy formulasiga ko’ra,


yechimni hosil qilamiz.
3 – misol.
^,
tenglamaning yechimini topamiz.
A matrisaning xos qiymatlari lardan iborat.Xarakteristik tenglama ildizlari 2 va 1 karrali bo’lganligi sababli Jordan matrisasi va unga mos eksponensal matrisa
,
bo’ladi.
xos qiymatga bitta xos vektor mos keladi, unga biriktirilgan vektor bo’ladi. xos qiymat uchun .
Demak, ,
Bu yerdan qo’yilgan masala yechimini topamiz.