8-amaliy mashg’ulot

8-amaliy mashg’ulot: Chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimi, manfiymas, musbat yechimlar. Chiziqli tengsizliklar sistemasining hamjoyli, hamjoysizligi. Qavariq konus.


Ta’rif. Ushbu
(1)
tengsizlik R haqiqiy sonlar maydoni ustidagi n ta noma’lumli tengsizlik deyiladi.
(1) da x₁, x₂, ..., x_n – noma’lumlar, a_i, b∈R ( ) esa koeffitsiyentlar deyiladi.
Ta’rif. Agar (1) da b=0 bo’lsa (1) ni bir jinsli, b≠0 bo’lsa, (1) ni bir jinsli bo’lmagan tengsizlik deyiladi.
Ta’rif. Ushbu
a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... +a_1n x_n + b₁ ≥0,
a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... +a_2n x_n + b₂ ≥ 0, (2)
- - - - - - - -
a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + ... +a_mn x_n + b_m ≥ 0

sistemaga n ta noma’lumli m ta chiziqli tengsizliklar sistemasi deyiladi.

(2) da x₁, x_2,..., x_n noma’lumlar, a_ij,b∈R ( ) sonlar (2) sistemaning koeffitsiyentlari deyiladi. b_i∈R (2) sistemaning ozod hadlari deyiladi.
n noma’lumlar sonini, m tenglamalar sonini bildirib, ular orasida m=n, mn munosabatlarning biri o’rinli bo’ladi.
Ta’rif. (2) sistemaning hamma tengsizliklarini qanoatlantiruvchi x₁=α₁, x₂=α₂,..., x_n=α_n sonlar (2) sistemaning yechimi deyiladi.
Ta’rif. (2) sistemadagi hamma tengsizliklar bir jinsli bo’lsa, sistema ham bir jinsli sistema deyiladi. (2) sistemaning kamida bitta tengsizligi bir jinsli bo’lmasa, sistema bir jinsli bo’lmagan sistema deyiladi.
Ta’rif. Kamida bitta yechimga ega bo’lgan (2) sistema hamjoyli sistema, bitta ham yechimga ega bo’lmagan (2) sistema hamjoysiz sistema deyiladi.
Ta’rif. Agar (2) ning ixtiyoriy yechimi (1) tengsizlikning ham yechimi bo’lsa, (1) ga (2) ning natijasi deyiladi.
Ta’rif. Agar (1) tengsizlik bitta ham yechimga ega bo’lmasa, u ziddiyatli tengsizlik deyiladi. Ziddiyatli tengsizlik quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
0^.x₁+0.x₂+ ... +0.x_n+b≥0 (b<0) (3)
Ta’rif. (2) sistemaning birinchi tengsizligini k₁≥0 songa, ikkinchisini k₂≥0 songa, ..., m-sini k_m≥0 songa ko’paytirib, ularni hadlab qo’shsak hosil bo’lgan ushbu tengsizlik
(4)
ga (2) sistemaning manfiymas chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
Ta’rif. Ushbu
a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... +a_1n x_n + b₁ ≥0,
a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... +a_2n x_n + b₂ ≥ 0, (1)
- - - - - - - -
a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + ... +a_mn x_n + b_m ≥ 0

sistemaga n ta noma’lumli m ta chiziqli tengsizliklar sistemasi deyiladi.

V=Rⁿ esa R maydon ustidagi arifmetik fazo bo’lib bo’lsin.
Ta’rif. Kamida bitta yechimga ega bo’lgan (1) sistema hamjoyli sistema, bitta ham yechimga ega bo’lmagan (1) sistema hamjoysiz sistema deyiladi.
Ta’rif. Vektorlarni qo’shish va manfiymas haqiqiy songa ko’paytirish amallariga nisbatan yopiq bo’lgan V vektor fazoning vektorlaridan tuzilgan bo’sh bo’lmagan to’plamga V vektor fazoning qavariq konusi deyiladi.
Teorema. (1) bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasining barcha yechimlar to’plami V=Rⁿ fazoning qavariq konusi bo’ladi.
Isboti. (1) ning barcha yechimlar to’plami
bo’lsin. Bunda haqiqiy sonlar.
Bu to’plam vektorlarni qo’shish va manfiymas haqiqiy songa ko’paytirish amaliga nisbatan yopiqdir. Shuning uchun bu to’plam V fazoning qavariq konusi bo’ladi.


Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:

1. 
   Chiziqli tengsizliklar sistemasining manfiymas yechimlarini toping:
   

1.1. ; 1.14. ;

2. 
   ; 1.15. ;
   

1.3. ; 1.16. ;
1.4. ; 1.17. ;
1.5. ; 1.18. ;
1.6. ; 1.19. ;

7. 
   ; 1.20. ;
   

1.8. ; 1.21. ;
1.9. ; 1.22. ;

10. 
    ; 1.23. ;
    
11. 
    ; 1.24. ;
    
12. 
    ; 1.25. .
    
13. 
    ;
    

2. Chiziqli tengsizliklar sistemasi yechimlarining qavariq konusini tekislikda tasvirlang:

1. 
   ; 2.14. ;
   
2. 
   ; 2.15. ;
   
3. 
   ; 2.16. ;
   
4. 
   ; 2.17. ;
   
5. 
   ; 2.18. ;
   
6. 
   ; 2.19. ;
   
7. 
   ; 2.20. ;
   
8. 
   ; 2.21. ;
   
9. 
   ; 2.22. ;
   
10. 
    ; 2.23. ;
    
11. 
    ; 2.24. ;
    
12. 
    ; 2.25. .
    
13. 
    ;