8-ma’ruza: системаларнинг турғунлиги. Турғунлик тўҒрисида тушунча. Турғунлик шартлари

Демак, системанинг турғунлиги унинг ички хусусияти бўлиб, унга таъсир этувчи сигналларга боғлиқ эмас.
(4) тенгламанинг ечимини аниқлаш учун характеристик тенгламани оламиз:
, (5)
бу ерда p₁, p₂, …, p_n – (5) характеристик тенгламанинг илдизлари бўлиб, улар хар хил бўлсин, унда (4) тенгламанинг ечимини қуйидаги кўринишда кўрсатиш мумкин:
(6)
с_i – системага қуйилган бошланғич шартлар бўйича аниқланадиган ихтиёрий ўзгармас сон.
Шундай қилиб, чизиқли системанинг турғунлигини характеристик тенгламанинг илдизлари аниқлар экан. Илдизлар эса ҳақиқий, комплекс ва мавҳум бўлиши мумкин.
Чизиқли система узатиш функцияси W(p) нинг ҳамма қутблари ҳақиқий қисмининг манфий ишорага эга бўлиши унинг турғун бўлишининг зарур ва етарли шарти ҳисобланади.
Узатиш функциясининг махражидаги полином илдизларини узатиш функциясининг қутблари суратидаги полином илдизларини узатиш функциясининг ноллари дейилади.
Очиқ система учун
. (7)
Очиқ система узатиш функциясининг характеристик тенгламаси Q(p)=0 нинг илдизлари ҳақиқий қисмининг манфий бўлиши очиқ системанинг турғун бўлишининг етарли ва зарур шартидир.
Берк система учун
, (8)
A(p)=1+W(p)=0 – берк системанинг характеристик тенгламаси.
Берк система характеристик тенгламаси A(p)=0 илдизлари ҳақиқий қисмининг манфий бўлиши унинг турғун бўлишининг етарли ва зарурий шартидир.
Турғунликнинг бу шарти А.М.Ляпунов томонидан ночизиқли системаларнинг чизиқлантирилган тенгламалари учун исботланди ва қўлланилди. Қуйида бу теоремани исботсиз келтирамиз:
1 – теорема: Агар чизиқлантирилган система характеристик тенгламаси ҳамма илдизларининг ҳақиқий қисми манфий бўлса, унда реал система хам турғун бўлади, яъни жуда кичик ночизиқли ҳадлари системанинг турғунлик холатига таъсир кўрсата олмайди.