8-mavzu. Furening integral almashtirishlari va ularning xossalari

1-misol. funksiyaning Fure bo’yicha tasvirini aniqlaymiz.
(3.1.10)
integralni parameter bo’yicha differensiallasak,

bo’ladi. Bundan,
, ,
,
,
Hosil bo’ladi. Bu yerda Eyler-Puasson integralidan foydalandik. Shunday qilib
(3.1.11)
tenglik hosil bo’ladi.
2-misol. Ixtiyoriy uchun
(3.1.12)
formula o’rinli bo’lishini isbot qilamiz. 1-misolga ko’ra,


tenglik hosil bo’ladi.
5. Funksiyalar o’ramasining Fure almashtirishi. butun son o’qida va funksiyalar berilgan bo’lib, xosmas integral ixtiyoriy uchun yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda bu integral da aniqlangan funksiya bo’lib, odatda bu ifodaga va funksiyalarning o’ramasi deb aytiladi va orqali belgilanadi. Shunday qilib,
(3.1.13)
tenglik bilan va funksiyalarning o’ramasi aniqlanadi. Bu amali va funksiyalarning o’rama ko’paytmasi deb aytiladi.
4-teorema. Agar va funksiyalar da uzluksiz, chegaralangan va absolyut integrallanuvchi funksiyalar bo’lsa, u holda o’rama da uzluksiz, chegaralangan va absolyut integrallanuvchi funksiya bo’ladi.
Isbot.
, (3.1.14)
bo’lsin. U holda funksiyaning chegaralangan ekanligi

tengsizlikdan kelib chiqadi. funksiya uzluksiz va , bo’lib, integral yaqinlashuvchi ekanligidan Veyershtrass alomatiga ko’ra, xosmas integral parameter bo’yicha son o’qida absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Shunga ko’ra, (3.1.14) tenglik bilan aniqlangan funksiya son o’qida uzluksizdir.
Endi son o’qida o’rama funksiyaning absolyut integrallanuvchi ekanligini ko’rsatamiz. Integrallash tartibini almashtirish haqidagi teoremaga asosan

(3.1.15)
tengsizlik hosil bo’ladi. , bunda , tengsizliklarga ko’ra, xosmas integral son o’qida parameter bo’yicha tekis yaqinlashadi. Shuningdek, xosmas integral ixtiyoriy chekli oraliqda parametr bo’yicha tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. (3.1.15) formulaga ko’ra takroriy integral mavjud. Shuning uchun integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
5-teorema. Agar 4-teoremaning shartlari bajarilsa, u holda
(3.1.16)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. Integrallash tartibini almashtirish haqidagi teoremaga ko’ra,


tenglikni hosil qilamiz. Teorema isbot bo’ldi.
(3.1.16) formuladan originallar o’rama ko’paytmasining Fure almashtirishi amali ularning mos Fure bo’yicha tasvirlarining oddiy ko’paytmalari amaliga mos kelishi kelib chiqadi. Fure almashtirishining bu ajoyib xossasi matematik fizika tenglamalarini yechishda keng qo’llaniladi.