8-mavzu. Furening integral almashtirishlari va ularning xossalari

8-mavzu. Furening integral almashtirishlari va ularning xossalari.
Reja:

1. 
   Fure almashtirishi va teskari Fure almashtirishi haqida tushuncha.
   
2. 
   son o’qida absolyut integrallanuvchi funksiyalar Fure almashtirishlarining xossalari.
   
3. 
   Funksiya hosilasining Fure almashtirishi.
   
4. 
   Funksiya Fure almashtirishini differensiallash.
   
5. 
   Funksiyalar o’ramasining Fure almashtirishi.
   

1. Fure almashtirishi va teskari Fure almashtirishi haqida tushuncha. Haqiqiy o’zgaruvchining kompleks qiymatli funksiyasi berilgan bo’lsin. U holda
(3.1.1)
formula bilan aniqlanadigan funksiyaga funksiyaning Fure almashtirishi deyiladi va yoki kabi belgilanadi.
(3.1.2)
Formula bilan aniqlanadigan funksiyaga esa, teskari Fure almashtirishi deyiladi va yoki kabi belgilanadi. Bu yerda (3.1.1) va (3.1.2) integrallar mavjud deb qaraladi. Agar funksiya absolyut integrallanuvchi bo’lsa, u holda va xosmas integrallar mavjud va mos bosh qiymat ma’nosidagi integrallarga teng bo’ladi. Shuning uchun absolyut integrallanucxhi funksiyalarning Fure almashtirishi va teskari Fure almashtirishi quyidagi xosmas integrallar yordamida
, (3.1.3)
(3.1.4)
shaklida aniqlanadi.
2. son o’qida absolyut integrallanuvchi funksiyalar Fure almashtirishlarining xossalari.
1-lemma. son o’qida absolyut integrallanuvchi funksiyaning Fure almashtirishi son o’qida chegaralangan va uzluksiz bo’ladi.
Isbot. son o’qida funksiya absolyut integrallanuvchi funksiya bo’lgani uchun

va shunga ko’ra, funksiya son o’qida chegaralangan bo’ladi.

Integralning tekis yaqinlashuvchi ekanligidan va shunga ko’ra integral belgisi ostida limitga o’tish o’rinli ekanligidan funksiyaning uzluksizligi kelib chiqadi. Lemma isbot bo'ldi’
Agar va funksiyalar absolyut integrallanuvchi funksiyalar bo’lsa, u holda ixtiyoriy sonlar uchun

tenglik o’rinli bo’ladi.
1-teorema. son o’qida funksiya absolyut integrallanuvchi va har bir nuqtada chekli hosila mavjud bo’lsa, u holda
, (3.1.5)
teskarilanish formulalari o’rinli bo’ladi.
Isbot. Ma’lumki, agar funksiya son o’qida absolyut integrallanuvchi va nuqtada Gyolder shartini qanoatlantirsa, u holda

tenglik o’rinli bo’ladi. chekli hosila mavjud ekanligidan, uning shu nuqtada Gyolder shartini qanoatlantirishi kelib chiqadi. Shuning uchun, bu tenglikdan

va

tengliklar kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
3. Funksiya hosilasining Fure almashtirishi. Agar funksiya uchun
1) son o’qida funksiya uzluksiz va absolyut integrallanuvchi;
2) Ixtiyoriy oraliq uchun shunday bir bo’linish nuqtalari topilib har bir intervalda funksiya uzluksiz;
3) funksiya son o’qida absolyut integrallanuvchi funksiya bo’lsa, u holda bu funksiya sinfga tegishli deb aytiladi.
2-teorema. Agar funksiya sinfga tegishli bo’lsa, u holda
(3.1.6)
tegishli o’rinli bo’ladi.
Isbot. Ma’lumki, sinfga tegishli funksiyalar uchun

Nyuton-Leybnits formulasi o’rinlidir. Bunda funksiya absolyut integrallanuvchi funksiya bo’lgani uchun

Chekli limit mavjud bo’ladi. Biz ekanligini ko’rsatamiz. Agar, masalan bo’lsa, u holda shunday bir soni topiladiki, uchun tengsizlik bajariladi. Bundan, taqqoslash alomatiga ko’ra, integralning uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi va shunga ko’ra . Bu esa teoremaning shartiga ziddir. Shuning uchun ham bo’la olmaydi. Demak, ekan.
Xuddi shunga o’xshash ekanligi isbot qilinadi.
sinf funksiyalari uchun bo’laklab integrallash formulasi o’rinlidir. Shu formulani qo’llab

tenglikni yozamiz.
Ma’lumki, ekanligidan yuqoridagi tenglikning o’ng tomonidagi integral tashqarisidagi handing nolga teng ekanligi kelib chiqadi va shunga ko’ra
,
ya’ni

tenglik o’rinli bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
Natija. Agar funksiyalar uzluksiz va bo’lsa, u holda
(3.1.7)
tenglik o’rinli.
(3.1.7) formula matematik induksiya usuli bilan (3.1.6) formuladan hosil qilinadi.
4. Funksiya Fure almashtirishini differensiallash.