8-mavzu. Furening integral almashtirishlari va ularning xossalari

3-teorema. Agar son o’qida funksiya uzluksiz, hamda va funksiyalar da absolyut integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya da uzluksiz hosilaga ega va
(3.1.8)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. (3.1.3) integralni parametr bo’yicha differensiallasak, u holda
(3.1.9)
Tenglik hosil bo’ladi. Bu yerda integral belgisi ostida differensiallashning qonuniy ekanligini asoslaymiz. Veyershtrass alomatiga ko’ra, integral son o’qida parameter bo’yicha tekis yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki tenglik o’rinli bo’lib integral yaqinlashuvchidir. Shunga ko’ra, integral belgisi ostida differensiallash mumkin bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
Natija. Agar uzluksiz funksiya bo’lib, funksiyalar absolyut integrallanuvchi funksiyalar bo’lsa, u holda
,
tenglik o’rinli bo’ladi.
Ayrim hollarda funksiyaga original deb, funksiyaga esa uning Fure bo’yicha tasviri deb aytiladi. 2 va 3-teoremalardan ko’rinadiki, Fure almashtirishi originalni differensiallash amali shu funksiyaga mos Fure bo’yicha tasvirini erkli o’zgaruvchiga ko’paytirish amali bilan va originalni erkli o’zgaruvchiga ko’paytirilgan funksiyaning Fure bo’yicha tasvirini differensiallash amali bilan almashadi. Fure almashtirishining bu xossalari differensial tenglamalarni yechishning asosiy operatsion metodlaridan iborat bo’ladi.
Biz - orqali butun son o’qida cheksiz differensiallanuvchi va ixtiyoriy hosila cheksizlikda ixtiyoriy manfiy darajadan tez kamayuvchi bo’lgan funksiyalar sinfini belgilaymiz. U holda

1. 
   - sinf bo’sh bo’lmagan to’plam,
   
2. 
   - sinf chiziqli fazo,
   

3) Fure operatori sinfni sinfga akslantiruvchi chiziqli va o’zaro bir qiymatli akslantirishdan iborat bo’ladi.