Mavzu. Uzluksiz funksiyalarning global xossalari 17-ma’ruza Reja

Mavzu. Uzluksiz funksiyalarning global xossalari

17-ma’ruza

Reja

1. Veyershtrassning birinchi va ikkinchi teoremalari.

2. Bolsano–Koshining birinchi va ikkinchi teoremalari.
1. Veyershtrassning birinchi va ikkinchi teoremalari.

Aytaylik, funksiya segmentda berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, funksiya da uzluksiz, nuqtada o‘ngdan, nuqtada chapdan uzluksiz bo‘lsa, funksiya segmentda uzluksiz bo‘ladi.

Endi segmentda uzluksiz bo‘lgan funksiyalarning xossalarini keltiramiz. Ular teoremalar orqali ifodalanadi.

1-teorema.  (Veyershtrassning birinchi teoremasi). ([1], p. 235, Lemma 9.6.3). Agar funksiya segmentda uzluksiz, ya’ni bo‘lsa, funksiya da chegaralangan bo‘ladi.

◄ Ma’lumki, funksiyaning da chegaralanganligi quyidagini

anglatadi.

Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni bo‘lsa ham funksiya da chegaralanmagan bo‘lsin. U holda

(1)

bo‘ladi. Ayni paytda, hosil bo‘ladigan ketma-ketlik uchun bo‘lganligi sababli u chegaralangan bo‘ladi. Unda Bolsano-Veyershtrass teoremasiga ko‘ra bu ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin:

da .

Shartga ko‘ra funksiya da uzluksiz. Binobarin,

da

(2)

bo‘ladi. Bu (5) munosabat yuqorida qilingan farazga ziddir (chunki, faraz bo‘yicha



bo‘lishi lozim edi). Demak, funksiya da chegaralangan bo‘ladi. ►

Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin.