Mavzu. Uzluksiz funksiyalarning global xossalari 17-ma’ruza Reja

2. Bolsano-Koshining birinchi va ikkinchi teoremalari.

3-teorema.  (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi) ([2], p. 109, Th. 4.23)  Faraz qilaylik, funksiya segmentda berilgan bo‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin:

1) ;

2) segmentning chetki nuqtalari va larda har xil ishorali qiymatlarga ega, ya’ni

yoki

bo‘lsin.

U holda da shunday nuqta topiladiki, bo‘ladi.

◄ Aytaylik, bo‘lib, bo‘lsin. segmentning funksiyaga manfiy qiymatlar beradigan nuqtalaridan iborat to‘plamini deylik:



Ravshanki, Demak, to‘plam chegaralangan va

To‘plamning aniq yuqori chegarasi haqidagi teoremaga ko‘ra



mavjud bo‘ladi.

Aniq yuqori chegara ta’rifiga binoan,

,

bo‘ladi. Demak,

.

funksiyaning da uzluksiz bo‘lganligini e’tiborga olib topamiz:

da bo‘lib,

Bir tomondan

,

ikkinchi tomondan



bo‘lishidan

(4)

bo‘lishi kelib chiqadi.

Ravshanki, da Binobarin, Shuning uchun



bo‘lib,

(5)

bo‘ladi. (4) va (5) munosabatlardan bo‘lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshash, va bo‘lgan holda teorema isbotlanadi. ►