Mavzu. Uzluksiz funksiyalarning global xossalari 17-ma’ruza Reja

1-ta’rif. ([1], p. 236, Def. 9.6.5) Agar to‘plamda shunday nuqta topilsaki, uchun



tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga erishadi deyiladi va



kabi belgilanadi.

2-teorema.  (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). ([1], p. 236, Prop. 9.6.7)  Agar bo‘lsa, bu funksiya segmentda eng katta hamda eng kichik qiymatlarga erishadi, ya’ni





bo‘ladi.

◄ Aytaylik, bo‘lsin. Veyershtrassning 1-teoremasiga ko‘ra funksiya segmentda chegaralangan, ya’ni ushbu



to‘plam chegaralangan bo‘ladi. Unda to‘plamning aniq chegarasi haqidagi teoremaga ko‘ra



mavjud bo‘ladi.

To‘plamning aniq yuqori chegarasi ta’rifiga muvofiq:





bo‘ladi. Keyingi tengsizlikda



deb olinadigan bo‘lsa,



ketma-ketlik hosil bo‘lib, uning uchun



tengsizlik bajariladi. Demak, da



bo‘ladi. Bu munosabatdan

(3)

bo‘lishi kelib chiqadi.

Yuqorida hosil qilingan ketma-ketlik chegaralangan. Undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni ajratish mumkin. Uni deylik:

da .

Berilgan funksiyaning uzluksizligidan foydalanib topamiz:

da

Ravshanki, ketma-ketlik ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi.

Demak (6) munosabatga ko‘ra

da

bo‘lib, bo‘lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshash, funksiyaning eng kichik qiymatga erishishi ko‘rsatiladi. ►