9-bob. Konik kesimalarning fokusi ellips va giperbolaning fokuslari

9-bob.
KONIK KESIMALARNING FOKUSI
Ellips va giperbolaning fokuslari
Apolloniy III45 mulohazasida ellips va giperbolaning fokuslarini belgilab bergan: Biz gaplashgan kesimlardan birining o'qi AB bo'lsin, AC va BD perpendikulyar chiziqlar, CED chizig'i esa tangens chiziq bo'lsin. Keling, har bir tomonda biz aytgan tarzda [to'rtburchaklar] , AGB ostida "va" AHB ostida ", eidosning chorak qismiga teng quraylik va CG, CH, DG, DH ni bog'laymiz. Men CGD va CHD burchaklarini to'g'ri chiziqlar deb da'vo qilaman> (48-rasm, a, b) [25, 2-jild, bet. 240-242].
III45-taklifda ixtiyoriy diametr emas, balki ellips yoki giperbolaning o‘qi ko‘rib chiqiladi va eydos deganda shu o‘qga mos keladigan eydoslar, ya’ni tomonlari ellips yoki uning katta o‘qi bo‘lgan to‘rtburchak tushuniladi. giperbolaning haqiqiy o'qi 2a ga teng va bu bo'limlarning to'g'ri tomoni yirtilgan 2p = 2b2 / a, bu erda b ellipsning kichik o'qi yoki giperbolaning xayoliy o'qi; shuning uchun bu eidosning to'rtdan birining maydoni b2 ga teng. Apolloniy ellips yoki giperbola o'qining G va H nuqtalarini shunday belgilaydiki, tengliklari
AG • GB = AH • HB = b2.
Apolloniy va to'rtburchaklar yordamida G va H nuqtalarini aniqlaydi, shuning uchun u bu nuqtalarni deb ataydi. (ta ek tes paraboles genethepta semeia).
Zamonaviy geometriyada bu nuqtalar ellips va giperbolaning fokuslari deb ataladi.
5-bobda konus kesimning umumiy tenglamasiga (5.12) kiritilgan ekssentriklik e ni aniqladik. Ellips uchun e2 = (a2 b2) / a2, giperbola uchun e2 = (a2 + b2) / a2, bu erda a va b ellips va giperbolaning yarim o'qlari.
To'g'ri to'rtburchak koordinatalarda (6.16) va (6.18) tenglamalar bilan aniqlangan ellips va giperbola holatida fokuslarning abssissalari ae va ae ga teng ekanligini isbotlaylik. Buning uchun ak va ak fokuslarining abssissalarini belgilaymiz. Ellips holatida AG = HB = a ak, AH = GB = a + ak. Shuning uchun tenglik tufayli (9.1)
AG • GB = AH • HB = (a-ak) (a + ak) = a2-a2k2 = b2,
qaerdan k2 = (a2 - b2) / a2 = e2 topamiz.
Giperbola holatida AG = HB = ak - a, AH = GB = ak + a. Shunung uchun
AG • GB = AH • HB = (ak − a) (ak + a) = a2k2 −a2 = b2,
qaerdan k2 = (a2 + b2) / a2 = e2 topamiz.
III45-taklifning isboti III42-taklifdan kelib chiqadi, uning asosida AC BD = b2. Bu tenglik va tenglik (9.1) AG GB = AC BD va AH HB = AC BD tengliklarini bildiradi. Bulardan birinchisi
tengliklar ACG va BDG uchburchaklarining o'xshashligini aniqlaydi, bu tengliklarning ikkinchisi ACH va BDH uchburchaklarining o'xshashligini aniqlaydi. Ushbu to'rtta uchburchakning hammasi to'g'ri burchakli bo'lganligi sababli, AGC va BGD burchaklarining yig'indisi xuddi AHC va BHD burchaklarining yig'indisi kabi to'g'ri burchakka teng bo'ladi, shundan kelib chiqadiki, har ikkala burchak ham CGD va CHD burchaklarining istalgan holatidadir. ellips yoki giperbolaning E nuqtasi to'g'ri chiziqlardir.
Fokuslarning optik xossalari

III47 mulohazasida Apolloniy isbotlaydiki, agar CH va GD chiziqlari J nuqtada uchrashsa, u holda teginishning E nuqtasi bilan kesishgan J nuqtasini JE tutashtiruvchi chiziq CED tangens chizig‘iga E nuqtadagi konus kesimga perpendikulyar bo‘ladi (49-rasm, a. , b). Zamonaviy differensial geometriyada JE chiziq E nuqtadagi ellips yoki giperbolaning normali deb ataladi.

Rasm-49

Rasm- 50

Bu teorema asosida III48 mulohazada Apolloniy GE va HE to‘g‘ri chiziq JE to‘g‘risi bilan teng burchaklar, shuningdek CED tangensi bilan teng burchaklar hosil qilishini isbotlaydi (50-rasm, a, b). Ellipsga kelsak, bu jumla uning bir fokusidan chiqadigan, ellipsdan aks ettirilgan yorug'lik nurlari ellipsning boshqa fokusida to'planishini anglatadi. Shuning uchun, yorug'lik nurlari issiqlikka ega bo'lgani uchun, agar siz ikkinchi fokusga yonuvchan materialni joylashtirsangiz, u alangalanadi. Bu I.Kepler tomonidan kiritilgan "o'choq, olov joyi" degan ma'noni anglatuvchi "fokus" so'zini tushuntiradi. Giperbola bo'lsa, III48 taklifi uning fokuslaridan biridan chiqadigan yorug'lik nurlari giperbolaning bir tarmog'idan shunday aks etishini anglatadiki, aks ettirilgan nurlarning kengaytmalari kesishadi.
giperbolaning yana bir diqqat markazida.

Fokus radiusi vektorlari

Ellips va giperbolaning o‘choqlarini shu konussimon kesmalarning E nuqtalari bilan bog‘lovchi GE va HE segmentlari zamonaviy geometriyada E nuqtalarning fokal radius vektorlari deyiladi.

Rasm-51
III50 mulohazasida Apolloniy isbotlaydiki, agar ellips yoki giperbolaning O markazidan E nuqtalarning fokus radius vektorlariga parallel bo‘lgan OL va OM chiziqlarni shu nuqtalardagi teginishlarga o‘tkazsak.
u holda OL va OM chiziqlari ellips yoki giperbolaning a yarim o'qiga teng bo'ladi.
Agar ellips yoki giperbolaning o'qlarini va ularning E nuqtalaridagi tangenslarni K nuqtalaridagi kesishuviga cho'zsak (51-rasm, a-d), shunga o'xshash KGE, KOL va KHE, KOM uchburchaklarni olamiz.
Ellips holatida (6.16) koordinatalari x0, y0 bo'lgan E nuqtadagi tangens (8.21) tenglama bilan aniqlanadi, shuning uchun K nuqtaning x abscissasi a2 / x0 ga teng.
OG masofasi ae ga teng, bu erda e - ellipsning ekssentrisiteti. Shuning uchun KG = a2 / x0 ae. KGE va KOL uchburchaklarining o'xshashligi shuni anglatadi

Xuddi shunday, biz buni ellips holatida topamiz