A. A. Detlaf, B. M. Yavorskiy fizika kursi
-§. Relyativistik kinematikada tezlik va tezlanishlarni almashtirish
Download 5.01 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Lorens-invariantlik sharti
- 7.6-rasm 107 4.
|
7.5-§. Relyativistik kinematikada tezlik va tezlanishlarni almashtirish 1. K va K ′ inersial sanoq sistemalarda ikki nuqtaning v va v ′ tezliklar qiymati k j i dt dr k j i dt dr z y x z y x ′ + + ′ = = ′ + + = = ′ ′ ′ υ υ υ υ υ υ v v r r ifoda bilan aniqlanadi. Bu yerda zk yj xi r + + = va k z j y i x r ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ = ′ - qurilayotgan nuqtalarning K va K ′ sanoq sistemalaridagi radius –vektorlari. Bu v va v ′ tezliklarning dekart koordinat o‘qlaridagi proeksiyalari quyidagicha yoziladi: t d z d t d y d t d x d dt dz dt dy dt dx z y x z y x ′ ′ = ′ ′ ′ = ′ ′ ′ = ′ = = = ′ ′ ′ υ υ υ υ υ υ , , , , , (7.16) Agar K va K ′ sanoq sistemalari dekart koordinatalarining o‘xshash o‘qlari o‘zaro parallel va K sistema K ′ sistemaga nisbatan OX o‘qi bo‘ylab v tezlik bilan harakatlanayotgan (7.2-rasmga qarang), shu bilan birga vaqtning boshlang‘ich momentida (t=t ′ =0) bu sistemalarning O va O ′ koordinat boshlari ustma-ust tushsa, (7.5) ko‘rinishdagi Lorens almashtirishlari o‘rinli bo‘ladi. Bu almashtirishlardan 2 2 2 2 2 2 1 / 1 1 1 , , , 1 1 / β υ β υ υ β υ β − − = − − = ′ = = ′ = = ′ − − = − − = ′ c V dt dx c V dt t d dt dz dt z d dt dy dt y d V V dt dx dt x d x z y x kelib chiqadi, bu yerda β =V/c. Bunda А III О В I II C 7.5-rasm 12 t с ′ 12 l′ 104 ( ) ( ) ( ) ) / ( : / ) / ( : / ) / ( : / dt t d dt z d t d z d dt t d dt y d t d y d dt t d dt x d dt x d z y x ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ = ′ ′ ′ υ υ υ bo‘lgani uchun K va K ′ sistemalardagi nuqta tezliklarini koordinat o‘qlaridagi proeksiyalari orasidagi bog‘lanish quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: . / 1 / 1 , / 1 / 1 , / 1 / 1 , / 1 / 1 , / 1 , / 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c V c V c V c V c V c V c V c V c V V c V V x z z x z z x y y x y y x x x x x x ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − ′ = − − = ′ ′ + − ′ = − − = ′ ′ + + ′ = − − = ′ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ (7.17) Bu formulalar relyativistik kinematikada tezliklarning qo‘shish (almashtirish) qonunini ifodalaydi. Bunda c →∞ bo‘lgan chegarada ular N’yuton mexanikasidagi tezliklarning qo‘shishning odatdagi (7.3) va (7.4) qonuniga o‘tadi: , , y y x x V υ υ υ υ = ′ − = ′ ′ ′ z z υ υ = ′ ′ va v`= v - V 2. (7.17) formulalardan foydalanib, v va v ′ vektorlar modullarning kvadratlari bir- biri bilan quyidagi munosabatlar bilan bog‘langanligini ko‘rsatish mumkin: ( )( ) ( ) . / 1 / 1 / ) ( 1 ( 1 , / 1 / 1 / 1 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ′ + − ′ − − = − − − − = ′ ′ c V c V с c c V c V с c x x υ υ υ υ υ υ (7.18) (7.18) dan agar υ′ = s bo‘lsa, υ = s bo‘lishi va aksincha ham bo‘lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, agar qandaydir inersial sanoq sistemasiga nisbatan nuqtaning tezligi yorug‘likning vakuumdagi tezligiga teng bo‘lsa, u ixtiyoriy boshqa inersial sistemalarga nisbatan ham shunday bo‘ladi. Boshqa tomondan, agar υ′ < c bo‘lsa, υ < c bo‘ladi va aksincha, agar υ < c bo‘lsa, υ′ < c bo‘ladi, chunki bu shartda (7.18) ifodadagi o‘rta qavsning ichidagi ifoda birdan kichik. Bundan, xususan, quyidagi natija ham kelib chiqadi: ikki zarrachaning tezligi c ga qanchalik yaqin bo‘lmasin, ularning nisbiy tezligi doimo s dan kichik. Masalan, ikki zarracha K sanoq sistemada OX o‘qi bo‘ylab bir-biriga tomon mos holda v 1 =0,9 ci va v 2 =0,7ci tezliklar bilan harakatlanayotgan bo‘lsin. Ikkinchi zarrachaning birinchi zarrachaga nisbatan ularning tezlik modullari N’yuton mexanikasi hisoblanganidek, c dan katta bo‘lsa ham ularning geometrik farqiga v 2 - v 1 = -1,6 ci teng bo‘lmaydi, istalayotgan tezlik ikkinchi zarrachaning birinchi zarracha bilan birga harakatlanayotgan K ′ inersial sanoq sistemasiga nisbatan tezligiga teng (v =0,9 ci), ya’ni u 21 = v ′ 2 Shunday qilib, υ 2x =-0,7c, υ 2y = υ 2z =0 va V=0,9c bo‘lgani uchun (7.17) formuladan 105 , 0 982 , 0 63 , 0 1 6 , 1 / 1 2 2 2 2 2 2 = ′ = ′ − = + − = − − = ′ ′ ′ ′ z y x x x c c c V V υ υ υ υ υ ya’ni u 21 = - 0,982 ci ′ va |u 21 | bo‘ladi. 3. Shunga o‘xshash, (7.5) va (7.17) dan tezlanishning K va K ′ sanoq sistemalari dekart koordinata o‘qlardagi proeksiyalari orasida quyidagicha munosabat borligini ko‘rsatish mumkin. 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 ) / 1 ( / 1 1 , / 1 / 1 c V c V a c V a c V t d d a c V c V a t d d a x x y y x y y x x z x υ υ υ υ υ υ − − + − = ′ ′ = ′ − − = ′ ′ = ′ ′ ′ ′ ′ ; ) / 1 ( / 1 1 3 2 2 2 2 2 c V c V a c V a c V t d d a x x z z x z z υ υ υ υ − − + − = ′ ′ = ′ ′ ′ (7.19) , ) / 1 ( / 1 1 , ) / 1 / 1 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 c V c V a c V a c V dt d a c V c V a dt d a x x y y x y y x x z x ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − ′ ′ − ′ ′ + = ′ = ′ + − ′ = ′ = υ υ υ υ υ υ 3 2 2 2 2 2 ) / 1 ( / 1 1 c V c V a c V a c V dt d a x x z z x z z ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − ′ ′ − ′ ′ + = = υ υ υ υ (7.19 ′) (7.19) va (7.19 ′) formulalar relyativistik kinematikada tezliklarning almashtirish qonunini ifodalaydi. Agar V< < u < ′) relyativistik formulalar klassik formulalarga o‘tadi: a′ x ′ = a x , a ′ y ′ = a y , a ′ z ′ = a z va a ′ = a . 7.6-§. Relyativistik dinamika haqida tushuncha 1. Nisbiylik prinsipidan har qanday fizik qonunning matematik yozilishi har qanday inersial sistemada bir xil bo‘lishi kerakligi kelib chiqadi. Bu shuni bildiradiki, qandaydir fizik hodisani K ′ inersial sanoq sistemasida ifodalovchi tenglama, o‘sha hodisani K sanoq sistemasida ifodalangan tenglamalardagi shtrixlanmagan ya’ni K sanoq sistemada o‘lchangan kattaliklarni shtrixlangan ya’ni, K ′ sistemada o‘lchangan kattaliklarga oddiy almashtirish yo‘li bilan olinadi. Ko‘rsatilgan shartlar, fizik qonun tenglamasining Lorens almashtirishlariga nisbatan konvariantlik sharti, yoki qisqacha Lorens-invariantlik sharti deyiladi. Moddiy nuqta uchun N’yuton klassik dinamikasining asosiy qonuni F dt d m r r = v yoki F m dt d r r = ) ( v bo‘ladi, bunda moddiy nuqta massasi hamma inersial sanoq sistemalarida doimiy va bir xil hisoblanadi, uni Lorens almashtirishlariga nisbatan konvariant emasligi ma’lum bo‘ladi. Demak, bu qonuni bo‘lib xizmat qilaolmaydi. 2. Relyativistik dinamikada moddiy nuqtaning impulsi p r N’yuton dinamikasidek, uning massasiga proporsional va yo‘nalishi bu nuqtaning tezlik yo‘nalishi bilan mos 106 tushadi. Ammo, N’yuton dinamikasidan farqi shundaki, nuqtaning impulsi uning tezligini chiziqli bo‘lmagan funksiyasidir: 2 2 / 1 c m p υ − = v r r . (7.20) Bunda moddiy nuqtaning massasi uning tezligiga bog‘liq emas deb faraz qilinadi va shu bilan birga u sanoq sistemasining tanlanishiga nisbatan invariantdir. Agar v< qiymati bo‘yicha N’yuton mexanikasidagi moddiy nuqtaning impulsi bilan mos tushadi. (7.20) formula bilan ifodalanuvchi impuls p r ba’zida moddiy nuqtaning relyativistik impulsi deyiladi. Yaqin vaqtgacha m massani odatga ko‘ra moddiy nuqtaning tinchlikdagi massasi deyilardi, bunda 2 2 / 1 / c m υ − - shu nuqtaning relyativistik massasi. Mos holda, moddiy nuqta massasini uning tezligiga bog‘liqligi haqida gapirilganda, nuqtaning relyativistik massasi tushuniladi. 3. Moddiy nuqta relyativistik dinamikasining asosiy tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega: F c m dt d r r = − 2 2 / 1 υ v (7.21) yoki F dt p d r r = . (7.22) N’yuton mexanikasidan farqli ravishda moddiy nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch inersial sanoq sistemasining tanlanishiga nisbatan invariant emas. Bir inersial sanoq sistemasidan boshqasiga o‘tishda kuch komponentalarini almashtirish qoidasini, (7.21) tenglamaning Lorens - invariantlik shartlaridan va ilgari vaqt hamda moddiy nuqta tezlik komponentalarini almashtirish uchun topilgan qoidalardan hosil qilish mumkin. Kichik tezliklarda υ< impulsi, tezlikka qaraganda tezroq ortadi. (7.20) dan c im → υ l p= ∞ bo‘lishi kelib chiqadi. Barcha real kuchlar miqdori jihatidan chekli bo‘lib, ularning jismga ta’siri esa vaqt bo‘yicha chegaralangan. Shuning uchun (7.22) ga binoan ular jismga cheksiz katta impuls bera olmaydi. Demak, ixtiyoriy sanoq sistemasiga nisbatan jismning tezligi yorug‘likning vakuumdagi tezligiga teng bo‘lishi mumkin emas, doimo undan kichik. Bunday fikr massasi nolga * teng, tezligi bo‘lsa, c dan farq qilishi mumkin bo‘lmagan fotonlar, neytrino va antineytrinolardan tashqari atomlar, molekulalar va barcha elementar zarrachalar uchun to‘g‘ri. * Hozirgi vaqtda neytrino va antineytrino massasi 0 dan farqli mumkinligi bo’lishi haqidagi masala chuqur o’rganilmoqda (46.5-§ ga qarang). m/m a 7 6 5 4 3 2 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 v/c 7.6-rasm 107 4. Moddiy nuqtaning relyativistik mexanikadagi kinetik energiyasi uchun ifoda topaylik. Elementar dr siljishda moddiy nuqta kinetik energiyasining oshishi, bu siljishda moddiy nuqtaga ta’sir: qiluvchi F kuchning bajargan ishiga teng: dW k =Fdr=F vdt, (7.23) bu yerda v - nuqta tezligi. (7.21) dan ( ) dt d c c m dt d c m F υ υ υ υ 2 / 3 2 2 2 2 2 / 1 / 1 − + − = v v r r r , bo‘lishi kelib chiqadi. Shuning uchun ( ) v v v v r r r r 2 / 3 2 2 2 0 2 2 0 / 1 / 1 c c d m d c m dW K υ υ υ υ − + − = . Bunda v r d v r = υdυ va v r v r = υ 2 bo‘lgani uchun ( ) − = − = − + − = 2 2 0 2 2 / 3 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 c m d c c d m c c c d m dW K υ υ υ υ υ υ υ υ υ . Shunday qilib, moddiy nuqta kinetik energiyasining o‘zgarishi bilan uning tezligi orasidagi bog‘lanish quyidagi ko‘rinishga ega: − = 2 2 0 2 / 1 c m d c dW K υ . (7.24) Bu tenglamani υ bo‘yicha 0 dan υ gacha chegarada integrallab, moddiy nuqta kinetik energiyasi bilan tezligi orasidagi bog‘lanishni olamiz: − − = − = ∫ 1 / 1 1 0 / 1 2 2 2 0 2 2 0 c c m c d m dW K υ υ υ υ υ , (7.25) Teylor qatoriga yoyishdan foydalanamiz: ( ) .. . 8 3 2 1 1 1 / 1 1 4 2 2 / 1 2 2 + + + = − = − − c c c c υ υ υ υ Agar υ< W k =1/2 m 0 c 2 ( υ/c) 2 =1/2m 0 υ 2 bo‘lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, moddiy nuqta tezligining kichik qiymatlarida uning (7.25) relyativistik formula bilan hisoblangan kinetik energiyasi N’yuton mexanikasidagi qiymati bilan mos keladi. Lekin moddiy nuqtaning katta tezliklarida uning kinetik energiyasi υ tezligi s ga yaqinlashgan sari cheksiz ortib borib m υ 2 /2 dan farq qiladi. (7.24) va (7.25) formulalar bir butun holda v tezlik bilan harakatlanuvchi moddiy nuqtalar sistemasi (masalan qattiq jism) uchun ham o‘rinli. Download 5.01 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|