A elementar ˘ a • Limite de ¸siruri elementare


Download 102 Kb.
Pdf просмотр
Sana18.08.2017
Hajmi102 Kb.

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

ANALIZ ˘

A ELEMENTAR ˘

A

• Limite de ¸siruri elementare:



1)

lim


n→∞

q

n



=









0,



dac˘a |q| < 1,

1,

dac˘a q = 1,



∞,

dac˘a q > 1,

nu exist˘a, dac˘a q ≤ −1

2)

lim



n→∞

a

1



n

p

+ a



2

n

p−1



+ a

3

n



p−2

+ · · · a

p

n + a


p+1

=

∞ , dac˘a a



1

> 0,


−∞ , dac˘a a

1

< 0

, p ∈ N

(limit˘a dintr-un polinom de grad p ˆın variabila n)



3)

lim


n→∞

a

1



n

p

+ a



2

n

p−1



+ a

3

n



p−2

+ · · · a

p

n + a


p+1

b

1



n

q

+ b



2

n

q−1



+ b

3

n



q−2

+ · · · b

q

n + b


q+1

=









a



1

b

1



,

dac˘a p > q,

a

1

b



1

,

dac˘a p = q,



0 ,

dac˘a p < q

, p, q ∈ N

(limit˘a dintr-o fract¸ie de polinoame ˆın variabila n)

4)

lim


n→∞

sin x


n

x

n



= 1,

unde x


n

→ 0


5)

lim


n→∞

tg x


n

x

n



= 1,

unde x


n

→ 0


6)

lim


n→∞

1 +


1

x

n



x

n

= e,



unde x

n

→ ∞,



7)

lim


n→∞

(1 + x


n

)

1



x

n

= e,



unde x

n

→ 0



8)

lim


n→∞

e

n



n

p

= ∞ (p ∈ N)



9)

lim


n→∞

ln n


n

p

= 0 (p ∈ N



)

10)



lim

n→∞


a

x

n



− 1

x

n



= ln a,

unde x


n

→ 0


11)

lim


n→∞

ln (1 + x

n

)

x



n

= 1,


unde x

n

→ 0



12)

lim


n→∞

n



n = 1, (

n



n)

n

este s¸ir descresc˘ator



1

Lucian 

Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

• Limite de funct¸ii elementare:

1)

lim



x→0

x>0


1

x

=



1

0

+



= +∞

2)

lim



x→0

x<0


1

x

=



1

0



= −∞

3)

lim



x→∞

ln x = ln ∞ = +∞

4)

lim


x→0

x>0


ln x = ln 0

+

= −∞



5)

lim


x→∞

e

x



= e

= +∞



6)

lim


x→−∞

e

x



= e

−∞

=



1

e



= 0

7)

lim



x→∞

a

x



= a

=



+∞,

dac˘a a > 1

0,

dac˘a 0 < a < 1



8)

lim


x→∞

x

a



= ∞

a

=



+∞,

dac˘a a > 0

0,

dac˘a a < 0



9)

lim


x→0

sin x


x

= 1


10)

lim


x→0

tg x


x

= 1


11)

lim


x→∞

1 +


1

x

x



= e

12)


lim

x→0


(1 + x)

1

x



= e

13)


lim

x→∞


e

x

x



p

= +∞


(p ∈ R)

14)


lim

x→∞


ln x

x

p



= 0

(p ∈ R

)

15)



lim

x→0


a

x

− 1



x

= ln a


16)

lim


x→0

ln (1 + x)

x

= 1


17)

lim


x→∞

a

1



x

p

+ a



2

x

p−1



+ · · · + a

p

x + a



p+1

b

1



x

q

+ b



2

x

q−1



+ · · · + b

q

x + b



q+1

=







a



1

b

1



,

dac˘a p = q

0,

dac˘a p < q



+∞,

dac˘a p > q

2

Lucian 

Maticiuc


Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

• Propriet˘at¸i ale funct¸iei exponent¸iale:

1)

e



x

· e


y

= e


x+y

,

e



x−y

=

e



x

e

y



2)

e

x



≥ 1, ∀x ≥ 0,

e

x



< 1, ∀x < 0,

e

0



= 1

3)

Funct¸ia x → e



x

este cresc˘atoare ∀x ∈ R



propriet˘at¸i ale funct¸iei logaritm:

4)

ln (xy) = ln x + ln y,



ln

x

y



= ln x − ln y,

ln

1



x

= − ln x


5)

ln x ≥ 0, ∀x ≥ 1,

ln x < 0, ∀0 < x < 1,

ln 1 = 0, ln e = 1

6)

Funct¸ia x → ln x este cresc˘atoare ∀x > 0



s¸i

7)

e



ln x

= x = ln e

x

, ∀x > 0


• Propriet˘at¸i ale funct¸iei sinus ¸si cosinus:

1)

cos (2nπ) = 1,



cos (2n + 1)

π

2



= 0,

cos ((2n + 1) π) = −1, ∀n ∈ Z

2)

sin (nπ) = 0,



sin (2n + 1)

π

2



= (−1)

n

, ∀n ∈ Z



3)

sin (2nπ + x) = sin x,

cos (2nπ + x) = cos x, ∀n ∈ Z, x ∈ R

(adic˘a funct¸iile sin s¸i cos sunt periodice)

4)

funct¸iile periodice nu au limt˘a la infinit (deci nu ∃ sin ∞



def

= lim


x→∞

sin x


)

5)

|sin x| ≤ 1,



|cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R

6)

exist˘a limita lim



x→∞

sin x


x

= lim


x→∞

1/x


→0

sin x


arginit˘


a

= 0


3

Lucian 

Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

• Seria armonic˘a generalizat˘a

n=1



1

n

p



=

convergent˘a , dac˘a p > 1

divergent˘a ,

dac˘a p ≤ 1

• Seria geometric˘a

n=1



q

n

=



convergent˘a , dac˘a |q| < 1

divergent˘a ,

dac˘a |q| ≥ 1

• Binomul lui Newton

(a + b)

p

= a



p

+ C


1

p

a



p−1

b + C


2

p

a



p−2

b

2



+ · · · + C

p−1


p

ab

p−1



+ b

p

, unde p ∈ N



• Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice

1 + q + q

2

+ q



3

+ · · · + q

n

=

1 − q



n+1

1 − q


, ∀q = 1

• Suma primelor n numere naturale

1 + 2 + 3 + · · · + n =

n (n + 1)

2

s¸i suma p˘atratelor primelor n numere naturale



1

2

+ 2



2

+ 3


2

+ · · · + n

2

=

n (n + 1) (2n + 1)



6

• Partea ˆıntreag˘a [a] ∈ este cel mai mare ˆıntreg din stˆanga num˘arului real a, adic˘a

[a] ≤ a < [a] + 1, ∀a ∈ R

De asemenea, partea ˆıntreag˘a verific˘a s¸i

a − 1 < [a] ≤ a, ∀a ∈ R

• Dac˘a avem ecuat¸ia

ax

2

+ bx + c = 0



cu r˘ad˘acinile x

1

, x



2

, atunci are loc descompunerea

ax

2

+ bx + c = a (x − x



1

) (x − x


2

)

4



Lucian 

Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

Derivatele funct¸iilor elementare

1.

c = 0



2.

x = 1


3.

(x

n



) = nx

n−1


, n ∈ N

4.

(x



a

) = ax


a−1

, a ∈ R

+

5.

(



x) =


1

2



x

(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = 1/2)

6.

1

x



=

−1

x



2

(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = −1)

7.

(a

x



) = a

x

ln a , a ∈ R



+

, a = 1


8.

(e

x



) = e

x

(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = e)



9.

(ln x) =


1

x

10.



(sin x) = cos x

11.


(cos x) = − sin x

12.


(tg x) =

1

cos



2

x

13.



(ctg x) =

−1

sin



2

x

14.



(arcsin x) =

1



1 − x

2

15.



(arccos x) =

−1



1 − x

2

16.



(arctg x) =

1

1 + x



2

17.


(arcctg x) =

−1

1 + x



2

18.


(sh x) = ch x

, unde sh x

def

=

e



x

− e


−x

2

este sinusul hiperbolic



19.

(ch x) = sh x

unde ch x

def


=

e

x



+ e

−x

2



este cosinusul hiperbolic

5

Lucian 



Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

Derivatele funct¸iilor compuse

1.

(u



n

) = nu


n−1

· u , n ∈ N

2.

(u

a



) = au

a−1


· u , a ∈ R

+

3.



(

u) =



1

2



u

· u


(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = 1/2)

4.

1



u

=

−1



u

2

· u



(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = −1)

5.

(a



u

) = a


u

ln a · u , a ∈ R

+

, a = 1


6.

(e

u



) = e

u

· u



(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = e)

7.

(ln u) =



1

u

· u



8.

(sin u) = cos u · u

9.

(cos u) = − sin u · u



10.

(tg u) =


1

cos


2

u

· u



11.

(ctg u) =

−1

sin


2

u

· u



12.

(arcsin u) =

1



1 − u



2

· u


13.

(arccos u) =

−1



1 − u



2

· u


14.

(arctg u) =

1

1 + u


2

· u


15.

(arcctg u) =

−1

1 + u


2

· u


16.

(sh u) =


e

u

− e



−u

2

= ch u · u



17.

(ch u) =


e

u

+ e



−u

2

= sh u · u



Operat¸ii cu funct¸ii derivabile

1.

(f + g) (x) = f (x) + g (x)



2.

(C · f ) (x) = C · f (x)

3.

(f · g) (x) = f (x) · g (x) + f (x) · g (x)



4.

1

g



(x) =

−1

g



2

(x)


g (x)

5.

f



g

(x) =


f (x) · g (x) − f (x) · g (x)

g

2



(x)

6

Lucian 



Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

Integrale nedefinite

1.

dx = x + C



2.

x

α



dx =

x

α+1



α + 1

+ C , α ∈ R

, α = −1

3.

1



x

dx = ln |x| + C

4.

1

x



2

+ a


2

dx =


1

a

arctg



x

a

+ C



, a = 0

5.

1



x

2

− a



2

dx =


1

2a

ln



x − a

x + a


+ C

, a = 0


6.

1



x

2

± a



2

dx = ln x +

x

2

± a



2

+ C


, a = 0

7.

1



a

2



− x

2

dx = arcsin



x

a

+ C



, a > 0

8.

a



x

dx =


a

x

ln a



+ C

, a > 0, a = 1 ,

e

x

dx = e



x

+ C


9.

sin xdx = − cos x + C

10.

cos xdx = sin x + C



11.

1

cos



2

x

dx = tg x + C



12.

1

sin



2

x

dx = − ctg x + C



13.

1

sin x



dx = ln tg

x

2



+ C

14.


1

cos x


dx = ln tg

x

2



+

π

4



+ C

15.


tg xdx = − ln |cos x| + C

16.


ctg xdx = ln |sin x| + C

Metode de calcul

1. Formula de integrare prin p˘art¸i pentru integrala definit˘a

b

a



f (x) g (x) dx = [f (x) g (x)]

b

a



b

a



f (x) g (x) dx.

2. Prima metod˘a de schimbare de variabil˘a pentru integrala definit˘a: pentru a calcula

b

a

f (u (x)) u (x) dx



se noteaz˘a y

not


= u (x)

deci dy = u (x) dx s¸i are loc

b

a

f (u (x)) u (x) dx =



u(b)

u(a)


f (y) dy = F (y)

u(b)


u(a)

= F (u (b)) − F (u (a)) .



7

Lucian 

Maticiuc


Do'stlaringiz bilan baham:


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling