A elementar ˘ a • Limite de ¸siruri elementare

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

ANALIZ ˘

A ELEMENTAR ˘

A

• Limite de ¸siruri elementare:

1)

lim

n→∞

q

n

=



























0,

dac˘a |q| < 1,

1,

dac˘a q = 1,

∞,

dac˘a q > 1,

nu exist˘a, dac˘a q ≤ −1

2)

lim

n→∞

a

1

n

p

+ a

2

n

p−1

+ a

3

n

p−2

+ · · · a

p

n + a

p+1

=

∞ , dac˘a a

1

> 0,

−∞ , dac˘a a

1

< 0

, p ∈ N

∗

(limit˘a dintr-un polinom de grad p ˆın variabila n)

3)

lim

n→∞

a

1

n

p

+ a

2

n

p−1

+ a

3

n

p−2

+ · · · a

p

n + a

p+1

b

1

n

q

+ b

2

n

q−1

+ b

3

n

q−2

+ · · · b

q

n + b

q+1

=























∞

a

1

b

1

,

dac˘a p > q,

a

1

b

1

,

dac˘a p = q,

0 ,

dac˘a p < q

, p, q ∈ N

(limit˘a dintr-o fract¸ie de polinoame ˆın variabila n)

4)

lim

n→∞

sin x

n

x

n

= 1,

unde x

n

→ 0

5)

lim

n→∞

tg x

n

x

n

= 1,

unde x

n

→ 0

6)

lim

n→∞

1 +

1

x

n

x

n

= e,

unde x

n

→ ∞,

7)

lim

n→∞

(1 + x

n

)

1

x

n

= e,

unde x

n

→ 0

8)

lim

n→∞

e

n

n

p

= ∞ (p ∈ N)

9)

lim

n→∞

ln n

n

p

= 0 (p ∈ N

∗

)

10)

lim

n→∞

a

x

n

− 1

x

n

= ln a,

unde x

n

→ 0

11)

lim

n→∞

ln (1 + x

n

)

x

n

= 1,

unde x

n

→ 0

12)

lim

n→∞

n

√

n = 1, (

n

√

n)

n

este s¸ir descresc˘ator

1

Lucian 

Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

• Limite de funct¸ii elementare:

1)

lim

x→0

x>0

1

x

=

1

0

+

= +∞

2)

lim

x→0

x<0

1

x

=

1

0

−

= −∞

3)

lim

x→∞

ln x = ln ∞ = +∞

4)

lim

x→0

x>0

ln x = ln 0

+

= −∞

5)

lim

x→∞

e

x

= e

∞

= +∞

6)

lim

x→−∞

e

x

= e

−∞

=

1

e

∞

= 0

7)

lim

x→∞

a

x

= a

∞

=

+∞,

dac˘a a > 1

0,

dac˘a 0 < a < 1

8)

lim

x→∞

x

a

= ∞

a

=

+∞,

dac˘a a > 0

0,

dac˘a a < 0

9)

lim

x→0

sin x

x

= 1

10)

lim

x→0

tg x

x

= 1

11)

lim

x→∞

1 +

1

x

x

= e

12)

lim

x→0

(1 + x)

1

x

= e

13)

lim

x→∞

e

x

x

p

= +∞

(p ∈ R)

14)

lim

x→∞

ln x

x

p

= 0

(p ∈ R

∗

)

15)

lim

x→0

a

x

− 1

x

= ln a

16)

lim

x→0

ln (1 + x)

x

= 1

17)

lim

x→∞

a

1

x

p

+ a

2

x

p−1

+ · · · + a

p

x + a

p+1

b

1

x

q

+ b

2

x

q−1

+ · · · + b

q

x + b

q+1

=



















a

1

b

1

,

dac˘a p = q

0,

dac˘a p < q

+∞,

dac˘a p > q

2

Lucian 

Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

• Propriet˘at¸i ale funct¸iei exponent¸iale:

1)

e

x

· e

y

= e

x+y

,

e

x−y

=

e

x

e

y

2)

e

x

≥ 1, ∀x ≥ 0,

e

x

< 1, ∀x < 0,

e

0

= 1

3)

Funct¸ia x → e

x

este cresc˘atoare ∀x ∈ R

propriet˘at¸i ale funct¸iei logaritm:

4)

ln (xy) = ln x + ln y,

ln

x

y

= ln x − ln y,

ln

1

x

= − ln x

5)

ln x ≥ 0, ∀x ≥ 1,

ln x < 0, ∀0 < x < 1,

ln 1 = 0, ln e = 1

6)

Funct¸ia x → ln x este cresc˘atoare ∀x > 0

s¸i

7)

e

ln x

= x = ln e

x

, ∀x > 0

• Propriet˘at¸i ale funct¸iei sinus ¸si cosinus:

1)

cos (2nπ) = 1,

cos (2n + 1)

π

2

= 0,

cos ((2n + 1) π) = −1, ∀n ∈ Z

2)

sin (nπ) = 0,

sin (2n + 1)

π

2

= (−1)

n

, ∀n ∈ Z

3)

sin (2nπ + x) = sin x,

cos (2nπ + x) = cos x, ∀n ∈ Z, x ∈ R

(adic˘a funct¸iile sin s¸i cos sunt periodice)

4)

funct¸iile periodice nu au limt˘a la infinit (deci nu ∃ sin ∞

def

= lim

x→∞

sin x

)

5)

|sin x| ≤ 1,

|cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R

6)

exist˘a limita lim

x→∞

sin x

x

= lim

x→∞

1/x

→0

sin x

m˘

arginit˘

a

= 0

3

Lucian 

Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

• Seria armonic˘a generalizat˘a

∞

n=1

1

n

p

=

convergent˘a , dac˘a p > 1

divergent˘a ,

dac˘a p ≤ 1

• Seria geometric˘a

∞

n=1

q

n

=

convergent˘a , dac˘a |q| < 1

divergent˘a ,

dac˘a |q| ≥ 1

• Binomul lui Newton

(a + b)

p

= a

p

+ C

1

p

a

p−1

b + C

2

p

a

p−2

b

2

+ · · · + C

p−1

p

ab

p−1

+ b

p

, unde p ∈ N

∗

• Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice

1 + q + q

2

+ q

3

+ · · · + q

n

=

1 − q

n+1

1 − q

, ∀q = 1

• Suma primelor n numere naturale

1 + 2 + 3 + · · · + n =

n (n + 1)

2

s¸i suma p˘atratelor primelor n numere naturale

1

2

+ 2

2

+ 3

2

+ · · · + n

2

=

n (n + 1) (2n + 1)

6

• Partea ˆıntreag˘a [a] ∈ Z este cel mai mare ˆıntreg din stˆanga num˘arului real a, adic˘a

[a] ≤ a < [a] + 1, ∀a ∈ R

De asemenea, partea ˆıntreag˘a verific˘a s¸i

a − 1 < [a] ≤ a, ∀a ∈ R

• Dac˘a avem ecuat¸ia

ax

2

+ bx + c = 0

cu r˘ad˘acinile x

1

, x

2

, atunci are loc descompunerea

ax

2

+ bx + c = a (x − x

1

) (x − x

2

)

4

Lucian 

Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

Derivatele funct¸iilor elementare

1.

c = 0

2.

x = 1

3.

(x

n

) = nx

n−1

, n ∈ N

4.

(x

a

) = ax

a−1

, a ∈ R

+

5.

(

√

x) =

1

2

√

x

(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = 1/2)

6.

1

x

=

−1

x

2

(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = −1)

7.

(a

x

) = a

x

ln a , a ∈ R

+

, a = 1

8.

(e

x

) = e

x

(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = e)

9.

(ln x) =

1

x

10.

(sin x) = cos x

11.

(cos x) = − sin x

12.

(tg x) =

1

cos

2

x

13.

(ctg x) =

−1

sin

2

x

14.

(arcsin x) =

1

√

1 − x

2

15.

(arccos x) =

−1

√

1 − x

2

16.

(arctg x) =

1

1 + x

2

17.

(arcctg x) =

−1

1 + x

2

18.

(sh x) = ch x

, unde sh x

def

=

e

x

− e

−x

2

este sinusul hiperbolic

19.

(ch x) = sh x

unde ch x

def

=

e

x

+ e

−x

2

este cosinusul hiperbolic

5

Lucian 

Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

Derivatele funct¸iilor compuse

1.

(u

n

) = nu

n−1

· u , n ∈ N

2.

(u

a

) = au

a−1

· u , a ∈ R

+

3.

(

√

u) =

1

2

√

u

· u

(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = 1/2)

4.

1

u

=

−1

u

2

· u

(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = −1)

5.

(a

u

) = a

u

ln a · u , a ∈ R

+

, a = 1

6.

(e

u

) = e

u

· u

(obt¸inut˘a ˆın particular pentru a = e)

7.

(ln u) =

1

u

· u

8.

(sin u) = cos u · u

9.

(cos u) = − sin u · u

10.

(tg u) =

1

cos

2

u

· u

11.

(ctg u) =

−1

sin

2

u

· u

12.

(arcsin u) =

1

√

1 − u

2

· u

13.

(arccos u) =

−1

√

1 − u

2

· u

14.

(arctg u) =

1

1 + u

2

· u

15.

(arcctg u) =

−1

1 + u

2

· u

16.

(sh u) =

e

u

− e

−u

2

= ch u · u

17.

(ch u) =

e

u

+ e

−u

2

= sh u · u

Operat¸ii cu funct¸ii derivabile

1.

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

2.

(C · f ) (x) = C · f (x)

3.

(f · g) (x) = f (x) · g (x) + f (x) · g (x)

4.

1

g

(x) =

−1

g

2

(x)

g (x)

5.

f

g

(x) =

f (x) · g (x) − f (x) · g (x)

g

2

(x)

6

Lucian 

Maticiuc

Not¸iuni introductive

Lect. dr. Lucian Maticiuc

Integrale nedefinite

1.

dx = x + C

2.

x

α

dx =

x

α+1

α + 1

+ C , α ∈ R

, α = −1

3.

1

x

dx = ln |x| + C

4.

1

x

2

+ a

2

dx =

1

a

arctg

x

a

+ C

, a = 0

5.

1

x

2

− a

2

dx =

1

2a

ln

x − a

x + a

+ C

, a = 0

6.

1

√

x

2

± a

2

dx = ln x +

x

2

± a

2

+ C

, a = 0

7.

1

√

a

2

− x

2

dx = arcsin

x

a

+ C

, a > 0

8.

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

, a > 0, a = 1 ,

e

x

dx = e

x

+ C

9.

sin xdx = − cos x + C

10.

cos xdx = sin x + C

11.

1

cos

2

x

dx = tg x + C

12.

1

sin

2

x

dx = − ctg x + C

13.

1

sin x

dx = ln tg

x

2

+ C

14.

1

cos x

dx = ln tg

x

2

+

π

4

+ C

15.

tg xdx = − ln |cos x| + C

16.

ctg xdx = ln |sin x| + C

Metode de calcul

1. Formula de integrare prin p˘art¸i pentru integrala definit˘a

b

a

f (x) g (x) dx = [f (x) g (x)]

b

a

−

b

a

f (x) g (x) dx.

2. Prima metod˘a de schimbare de variabil˘a pentru integrala definit˘a: pentru a calcula

b

a

f (u (x)) u (x) dx

se noteaz˘a y

not

= u (x)

deci dy = u (x) dx s¸i are loc

b

a

f (u (x)) u (x) dx =

u(b)

u(a)

f (y) dy = F (y)

u(b)

u(a)

= F (u (b)) − F (u (a)) .

7

Lucian 

Maticiuc