[a,b] kesmada uzluksiz yoki bo‘lakli uzluksiz y = f(x) funksiya uchun integral yig‘indi deb


Download 445 b.
Sana28.09.2017
Hajmi445 b.



[a,b] kesmada uzluksiz yoki bo‘lakli uzluksiz y = f(x) funksiya uchun integral yig‘indi deb,

  • [a,b] kesmada uzluksiz yoki bo‘lakli uzluksiz y = f(x) funksiya uchun integral yig‘indi deb,

  • ifodaga aytiladi. Bu yerda, n – [a,b] kesma ajratilgan qismiy (kesma) bo‘laklar soni, xi – uzunligi ∆xi ga teng bo‘lgan [xi-1, xi] kesmaga tegishli ixtiyoriy nuqta (1 – rasm).



  • y = f (x) funksiyaning [a,b] kesmada aniq integrali deb, ushbu

  • integral yig‘indining eng katta qismiy kesma uzunligi nolga intilgandagi limitiga aytiladi va quyidagicha belgilanadi. Bu yerda, a va b sonlar integ-

  • ralning quyi va yuqori chegaralari deyiladi.



Aniq integralning asosiy xossalarini keltiramiz:

  • Aniq integralning asosiy xossalarini keltiramiz:

  • 10. Aniq integralning chegaralari almashtirilsa, integralning ishorasi o‘zgaradi:

  • 20. Ixtiyoriy uchta a, b va c sonlari uchun,



30. O‘zgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

  • 30. O‘zgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

  • 40. Chekli sondagi funktsiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar integrallarining yig‘indisiga teng:



50. (O‘rta qiymat haqida ). Agar y = f (x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmaning ichida shunday c nuqta topiladiki, ushbu nuqtada quyidagi tenglik bajariladi.

  • 50. (O‘rta qiymat haqida ). Agar y = f (x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmaning ichida shunday c nuqta topiladiki, ushbu nuqtada quyidagi tenglik bajariladi.

  • Bu yerda, c є [a,b].

  • 60. Nyuton – Leybnits teoremasi. Agar F(x) funksiya, uzluksiz

  • y = f(x) funksiyaning biror– bir boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, uning uchun quyidagi formula o`rinli.



Aniq integralni aniq hisoblashning asosiy yagona usuli, integral ostidagi funksiya uchun boshlang‘ich funksiyani aniqlash va so‘ngra Nyuton – Leybnits formulasini qo‘llashdir. Uni quyidagicha yozish mumkin:

  • Aniq integralni aniq hisoblashning asosiy yagona usuli, integral ostidagi funksiya uchun boshlang‘ich funksiyani aniqlash va so‘ngra Nyuton – Leybnits formulasini qo‘llashdir. Uni quyidagicha yozish mumkin:

  • Shunday qilib, aniq integralni bevosita integral yig‘indi limiti sifatida emas, balki Nyuton – Leybnits formulasi bo‘yicha hisoblash mumkin.



b) Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish.

  • b) Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish.

  • integral berilgan va f (x) funksiya

  • [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsin. x = φ(t) o‘zgaruvchini almashtirish bilan integrallash o‘zgaruvchisi t bo‘lgan yangi aniq integralga kelamiz. Bunda, φ(t), φ'(t) funksiyalar [α,β] kesmada uzluksiz hamda x = φ(t) funksiya α va β ni mos ravishda a va b ga o‘tkazadi, ya‘ni

  • φ(α) = a, φ(β) = b. Bu shartlar bajarilganda,

  • formula o‘rinli bo‘ladi.



c) Aniq integralda bo‘laklab integrallash u(x) va v(x) funksiyalar [a,b] kesmada differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin. Aniq integralda bo‘laklab integrallash quyidagi formula

  • c) Aniq integralda bo‘laklab integrallash u(x) va v(x) funksiyalar [a,b] kesmada differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin. Aniq integralda bo‘laklab integrallash quyidagi formula

  • bo‘yicha amalga oshiriladi;



d) Agar:

  • d) Agar:

  • 1) f (x) funksiya toq bo‘lsa, ya‘ni f (-x) = -f(x), u holda

  • 2) f (x) funksiya juft bo‘lsa, ya‘ni f (-x) = f (x), u holda





  • Integralning geometrik ma‘nosi quyidagicha: yuqoridan

  • y = f (x) funksiyaning grafigi bilan, quyidagi 0x o‘qi bilan, yon tomonlardan x = a va x = b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga son ji-

  • hatdan tengdir (1-rasm).



Ko‘p hollarda berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini elementar funksiyalarda ifoda etish mumkin bo‘lavermaydi. Bunday hollarda aniq integralni hisoblash uchun taqribiy

  • Ko‘p hollarda berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini elementar funksiyalarda ifoda etish mumkin bo‘lavermaydi. Bunday hollarda aniq integralni hisoblash uchun taqribiy

  • formulalardan foydalaniladi. [a,b] integrallash oralig‘i n ta uzunligi ga teng bo‘laklarga bo‘linadi.

  • 1.To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi (2 - rasm):





2. Trapetsiya formulasi (3 - rasm):

  • 2. Trapetsiya formulasi (3 - rasm):



3.Parabola formulasi (Simpson formulasi). n – juft olinadi. Integral quyidagicha hisoblanadi:

  • 3.Parabola formulasi (Simpson formulasi). n – juft olinadi. Integral quyidagicha hisoblanadi:



Yassi shaklning yuzlarini hisoblash y = f (x) funksiya grafigi,

  • Yassi shaklning yuzlarini hisoblash y = f (x) funksiya grafigi,

  • x = a, x = b ikkita to‘g‘ri chiziq va 0x o‘q bilan chegaralangan egri

  • chiziqli trapetsiyaning yuzi f (x) ≥ 0 bo‘lsa,

  • formula bo‘yicha hisoblanishini yuqorida ko‘rdik.



y=f2 (x) va y=f1 (x) egri chiziqlar bilan chegeralangan soha yuzasi formula bilan topiladi.

  • y=f2 (x) va y=f1 (x) egri chiziqlar bilan chegeralangan soha yuzasi formula bilan topiladi.

  • Bu yerda, a va b chiziqlar kesishish nuqtalarining abtsissalari, [a,b] da f1 (x) ≥ f2 (x)





  • Uzluksiz x=φ(y) egri chiziq, ordinatalar o‘qi va y = c hamda y = d (c) to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning 0y o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi

  • formula bo‘yicha hisoblanadi.



Yassi egri chiziq yoyi uzunliklarini hisoblash.

  • Yassi egri chiziq yoyi uzunliklarini hisoblash.

  • y=f(x) funktsiya [a,b] kesmada silliq bo‘lsa, u holda bu egri chiziqning x=a, x=b to‘g‘ri chiziqlari bilan chegaralangan yoyining uzunligi

  • formula bo‘yicha hisoblanadi.



Aylanish jismlari sirtining yuzini hisoblash

  • Aylanish jismlari sirtining yuzini hisoblash

  • x = a, x = b to‘g‘ri chiziqlari bilan chegaralangan y = f (x) egri chiziqning 0x o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzi Sx

  • formula bo‘yicha topiladi.

  • Xuddi shunga o‘xshash, y = c, y = d to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan uzluksiz x = φ(y) egri chiziqning 0y o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzi - Sy.

  • formula bo‘yicha topiladi .




Do'stlaringiz bilan baham:


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling