[a,b] kesmada uzluksiz yoki bo‘lakli uzluksiz y = f(x) funksiya uchun integral yig‘indi deb

[a,b] kesmada uzluksiz yoki bo‘lakli uzluksiz y = f(x) funksiya uchun integral yig‘indi deb,

• [a,b] kesmada uzluksiz yoki bo‘lakli uzluksiz y = f(x) funksiya uchun integral yig‘indi deb,

• ifodaga aytiladi. Bu yerda, n – [a,b] kesma ajratilgan qismiy (kesma) bo‘laklar soni, xi – uzunligi ∆xi ga teng bo‘lgan [xi-1, xi] kesmaga tegishli ixtiyoriy nuqta (1 – rasm).

• y = f (x) funksiyaning [a,b] kesmada aniq integrali deb, ushbu

• integral yig‘indining eng katta qismiy kesma uzunligi nolga intilgandagi limitiga aytiladi va quyidagicha belgilanadi. Bu yerda, a va b sonlar integ-

• ralning quyi va yuqori chegaralari deyiladi.

Aniq integralning asosiy xossalarini keltiramiz:

• Aniq integralning asosiy xossalarini keltiramiz:

• 10. Aniq integralning chegaralari almashtirilsa, integralning ishorasi o‘zgaradi:

• 20. Ixtiyoriy uchta a, b va c sonlari uchun,

30. O‘zgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

• 30. O‘zgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

• 40. Chekli sondagi funktsiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar integrallarining yig‘indisiga teng:

50. (O‘rta qiymat haqida ). Agar y = f (x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmaning ichida shunday c nuqta topiladiki, ushbu nuqtada quyidagi tenglik bajariladi.

• 50. (O‘rta qiymat haqida ). Agar y = f (x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmaning ichida shunday c nuqta topiladiki, ushbu nuqtada quyidagi tenglik bajariladi.

• Bu yerda, c є [a,b].

• 60. Nyuton – Leybnits teoremasi. Agar F(x) funksiya, uzluksiz

• y = f(x) funksiyaning biror– bir boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, uning uchun quyidagi formula o`rinli.

Aniq integralni aniq hisoblashning asosiy yagona usuli, integral ostidagi funksiya uchun boshlang‘ich funksiyani aniqlash va so‘ngra Nyuton – Leybnits formulasini qo‘llashdir. Uni quyidagicha yozish mumkin:

• Aniq integralni aniq hisoblashning asosiy yagona usuli, integral ostidagi funksiya uchun boshlang‘ich funksiyani aniqlash va so‘ngra Nyuton – Leybnits formulasini qo‘llashdir. Uni quyidagicha yozish mumkin:

• Shunday qilib, aniq integralni bevosita integral yig‘indi limiti sifatida emas, balki Nyuton – Leybnits formulasi bo‘yicha hisoblash mumkin.

b) Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish.

• b) Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish.

• integral berilgan va f (x) funksiya

• [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsin. x = φ(t) o‘zgaruvchini almashtirish bilan integrallash o‘zgaruvchisi t bo‘lgan yangi aniq integralga kelamiz. Bunda, φ(t), φ'(t) funksiyalar [α,β] kesmada uzluksiz hamda x = φ(t) funksiya α va β ni mos ravishda a va b ga o‘tkazadi, ya‘ni

• φ(α) = a, φ(β) = b. Bu shartlar bajarilganda,

• formula o‘rinli bo‘ladi.

c) Aniq integralda bo‘laklab integrallash u(x) va v(x) funksiyalar [a,b] kesmada differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin. Aniq integralda bo‘laklab integrallash quyidagi formula

• c) Aniq integralda bo‘laklab integrallash u(x) va v(x) funksiyalar [a,b] kesmada differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin. Aniq integralda bo‘laklab integrallash quyidagi formula

• bo‘yicha amalga oshiriladi;

d) Agar:

• d) Agar:

• 1) f (x) funksiya toq bo‘lsa, ya‘ni f (-x) = -f(x), u holda

• 2) f (x) funksiya juft bo‘lsa, ya‘ni f (-x) = f (x), u holda

• Integralning geometrik ma‘nosi quyidagicha: yuqoridan

• y = f (x) funksiyaning grafigi bilan, quyidagi 0x o‘qi bilan, yon tomonlardan x = a va x = b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga son ji-

• hatdan tengdir (1-rasm).

Ko‘p hollarda berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini elementar funksiyalarda ifoda etish mumkin bo‘lavermaydi. Bunday hollarda aniq integralni hisoblash uchun taqribiy

• Ko‘p hollarda berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini elementar funksiyalarda ifoda etish mumkin bo‘lavermaydi. Bunday hollarda aniq integralni hisoblash uchun taqribiy

• formulalardan foydalaniladi. [a,b] integrallash oralig‘i n ta uzunligi ga teng bo‘laklarga bo‘linadi.

• 1.To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi (2 - rasm):

2. Trapetsiya formulasi (3 - rasm):

• 2. Trapetsiya formulasi (3 - rasm):

3.Parabola formulasi (Simpson formulasi). n – juft olinadi. Integral quyidagicha hisoblanadi:

• 3.Parabola formulasi (Simpson formulasi). n – juft olinadi. Integral quyidagicha hisoblanadi:

Yassi shaklning yuzlarini hisoblash y = f (x) funksiya grafigi,

• Yassi shaklning yuzlarini hisoblash y = f (x) funksiya grafigi,

• x = a, x = b ikkita to‘g‘ri chiziq va 0x o‘q bilan chegaralangan egri

• chiziqli trapetsiyaning yuzi f (x) ≥ 0 bo‘lsa,

• formula bo‘yicha hisoblanishini yuqorida ko‘rdik.

y=f2 (x) va y=f1 (x) egri chiziqlar bilan chegeralangan soha yuzasi formula bilan topiladi.

• y=f2 (x) va y=f1 (x) egri chiziqlar bilan chegeralangan soha yuzasi formula bilan topiladi.

• Bu yerda, a va b chiziqlar kesishish nuqtalarining abtsissalari, [a,b] da f1 (x) ≥ f2 (x)

• Uzluksiz x=φ(y) egri chiziq, ordinatalar o‘qi va y = c hamda y = d (c) to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning 0y o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi

• formula bo‘yicha hisoblanadi.

Yassi egri chiziq yoyi uzunliklarini hisoblash.

• Yassi egri chiziq yoyi uzunliklarini hisoblash.

• y=f(x) funktsiya [a,b] kesmada silliq bo‘lsa, u holda bu egri chiziqning x=a, x=b to‘g‘ri chiziqlari bilan chegaralangan yoyining uzunligi

• formula bo‘yicha hisoblanadi.

Aylanish jismlari sirtining yuzini hisoblash

• Aylanish jismlari sirtining yuzini hisoblash

• x = a, x = b to‘g‘ri chiziqlari bilan chegaralangan y = f (x) egri chiziqning 0x o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzi Sx

• formula bo‘yicha topiladi.

• Xuddi shunga o‘xshash, y = c, y = d to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan uzluksiz x = φ(y) egri chiziqning 0y o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzi - Sy.

• formula bo‘yicha topiladi .