Abdullayev jonibekning matematik analiz fanidan yozgan
Download 197,9 Kb. Pdf ko'rish
|
koshi tengsizligi va uning tadbiqlari
|
) ,
, 0 ) ( b a x x f ∈
′′ bo’lsa ixtiyoriy ) , ( ... , , 2 1
a x x x n ∈ va 1 ...
2 1 = + + + n p p p
tenglikni qanoatlantiruvchi 0 ...,
, 0 , 0 2 1 ≥ ≥ ≥ n p p p sonlari uchun ushbu
)
( ) ( ... ) ( ) ( ) ... ( 2 2 1 1 2 2 1 1 n n n n x f p x f p x f p x p x p x p f + + + ≥ + + +
tengsizlik o’rinli bo’ladi. b) Agar ) ,
, 0 ) ( b a x x f ∈ > ′′ bo’lsa ixtiyoriy ) ,
... , , 2 1
a x x x n ∈ va 1 ...
2 1 = + + + n p p p
tenglikni qanoatlantiruvchi 0 ...,
, 0 , 0 2 1 ≥ ≥ ≥ n p p p sonlari uchun ushbu
)
( ) ( ... ) ( ) ( ) ... ( 2 2 1 1 2 2 1 1 n n n n x f p x f p x f p x p x p x p f + + + ≤ + + +
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Isbot. a) Avvalo ixtiyoriy ) ,
a c ∈ va ) , ( b a x ∈ uchun ushbu ) 39 ( ) )( ( ) ( ) (
x c f c f x f − ′ + ≤
tengsizlik bajarilishini ko’rsatamiz. Buning uchun
) )(
) ( ) ( ) ( c x c f c f x f x g − ′ − − = funknsiyaning ) ,
a oraliqda eng katta qiymatini topamiz. 0 )
) ( ), ( ) ( ) (
′′ =
′ − ′ = ′
f x g c f x f x g
bo’lgani uchun ) (x g′ kamayuvchi. 0 )
= ′ c g ekanligidan ) (x g′ ning ishorasi c x = nuqtadan o’tishda musbatdan manfiyga o’zgarishi kelib chiqadi. c x =
nuqtadan boshqa nuqtada ) (x g′ nolga aylanmasligidan ) (x g
funksiya c x = nuqtada o’zining eng katta qiymatini qabul qilishi kelib chiqadi. Demak, ) ( ) (
g x g ≤ bo’ladi, ya’ni (39) tengsizlik o’rinli bo’ladi. (39) tengsizlikda tenglik faqat c x = bo’lganda bajariladi. ) , ( ... , , 2 1
a x x x n ∈
ixtiyoriy nuqtalar bo’lsin. Agar n n x p x p x p c + + + = ... 2 2 1 1 bo’lsa, ) ,
a c ∈
bo’ladi. (39) tengsizlikka ko’ra ⇒ + + + = = − ′ + = = − + + + ′ + = = − ′ + + + + − ′ + + + − ′ + ≤ + + + ) ... ( ) ( ) )( ( ) ( ) ...
)( ( ) ( )] )( ( ) ( [ ...
)] )( ( ) ( [ )] )( ( ) ( [ ) ( ... ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 n n n n n n n x p x p x p f c f c c c f c f c x p x p x p c f c f c x c f c f p c x c f c f p c x c f c f p x f p x f p x f p
) ( ... ) ( ) ( ) ... ( 2 2 1 1 2 2 1 1 n n n n x f p x f p x f p x p x p x p f + + + ≥ + + + ⇒ bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi. ) 0 ... ( , 0 ...,
, 0 , 0 2 1 2 1 > + + + ≥ ≥ ≥ n n m m m m m m ixtiyoriy sonlar bo’lsin. (37) va (38) tengsizliklarda
+ + + = + + + = + + + = ...
..., , ... , ...
2 1 2 1 2 2 2 1 1 1
deymiz. U holda (37) va (38) tengsizliklar mos ravishda quyidagi ko’rinish oladi: ) 40 ( , ...
) ( ... ) ( ) ( ...
... 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 n n n n n n m m m x f m x f m x f m m m m x m x m x m f + + + + + + ≥ + + + + + +
) 41 ( , ...
) ( ... ) ( ) ( ...
... 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 n n n n n n m m m x f m x f m x f m m m m x m x m x m f + + + + + + ≤ + + + + + +
(37), (38), (40) va (41) tengsizliklarga YENSEN tengsizliklari deyiladi. ( Iogan Lyudvig Yensen (1859-1925) daniyalik matematik).
YENSEN tengsizliklarida ) (x f funksiyani turli xil qilib tanlash hisobiga ajoyib tengsizliklarni olish mumkin. Masalan, 1)
x x f ln ) ( = bo’lsa, n n n n n x x x n x x x n x x x n x x x ⋅ ⋅ ⋅ ≥ + + + + + + ≥ + + + 2 1 2 1 2 1 2 1 ... , ln ... ln ln ... ln
boladi, bu yerda . 0 ..., , 0 , 0 2 1 > > > n x x x
2) x x f = ) ( bo’lsa,
, ... ... 2 1 2 1
x x x n x x x n n + + + ≥ + + +
bo’ladi, bu yerda . 0 ..., , 0 , 0 2 1 ≥ ≥ ≥ n x x x
3) p x x f = ) ( bo’lsa,
, ... ... 2 1 2 1
x x x n x x x p n p p p n + + + ≤ + + +
bo’ladi, bu yerda 0 ..., , 0 , 0 2 1 > > > n x x x va
1 >
. 4)
x x f sin
) ( = bo’lsa,
n x x x n x x x n n sin
... sin
sin ...
sin 2 1 2 1 + + + ≥ + + + bo’ladi, bu yerda ] ,
[ ...,
, , 2 1 π ∈ n x x x . 5) x xe x f = ) ( bo’lsa,
+ + + ≤ + + + + + + ... ) ...
( 2 1 2 1 2 1 ...
2 1
bo’ladi, bu yerda . 0 ..., , 0 , 0 2 1 ≥ ≥ ≥ n x x x
6) 2 ) ( x x f = bo’lsa, ) ... )( ...
( ) ... ( , ... ... ...
... 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 n n n n n n n n n n n m m m x m x m x m x m x m x m m m m x m x m x m m m m x m x m x m + + + + + + ≤ + + + + + + + + + ≤ + + + + + + bo’ladi. Bu tengsizlikda
,
, , 2 2 2 2 2 1 1 n n b m b m b m = = =
n n n b a x b a x b a x = = = ...,
, , 2 2 2 1 1 1
desak,
) ...
)( ...
( ) ... ( 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 n n n n b b b a a a b a b a b a + + + + + + ≤ + + +
Koshi-Bunyokovskiy tengsizligi kelib chiqadi. 7)
p x x f = ) ( , 0 , 1 > > x p bo’lsa, 1 2
2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 ) ... )( ... ( ) ... ( , ... Download 197,9 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|