Abdullayev jonibekning matematik analiz fanidan yozgan
Download 197.9 Kb. Pdf ko'rish
|
koshi tengsizligi va uning tadbiqlari
|
=
= = = ≤ = − + + + − + + + − + + − + − + + +
e e e e x x x n n n n n n n n p p p x p x p x p x p x p x p x p x p x p p n p p
bo’ladi. (29) tengsizlikka (28) belgilashni qo’yib, ) 30 ( ... ...
2 2 1 1 2 1 2 1
n p n p p a p a p a p a a a n + + ≤
bo’lishini ko’ramiz. (30) tengsizlik Koshi tengsizliligining umumlashmasidir, chunki xususan n p n p n p n 1 ..., , 1 , 1 2 1 = = = bo’lganda (30) tengsizlik Koshi tengsizligiga aylanadi. (30) tengsizlikda n n n n n k k k k p k k k k p k k k k p + + + = + + + = + + + = ...
..., , ... , ...
2 1 2 1 2 2 2 1 1 1
deymiz. Bu yerda ) 0 ... ( , 0 ..., , 0 , 0 2 1 2 1 > + + + ≥ ≥ ≥ n n k k k k k k ixtuyoriy sonlar.
Natijada (30) tengsizlik ushbu ) 31 ( ...
... ) ... ( 2 1 2 2 1 1 ...
1 2 1 2 1 2 1 n n n k k k k n k k k k k a k a k a k a a a n n + + + + + + ≤ + + +
ko’rinishni oladi. (31) tengsizlikda, xususan 1 ..., , 1 , 1 2 1 = = = n k k k bo’lganda Koshi tengsizligi kelib chiqadi. Demak, (31) tengsizlik Koshi tengsizligi umumlashmasi ekan.
YUNG, GYO’LDER VA MINKOVSKIY TENGSIZLIKLARI.
2 = n bo’lganda holda, (31) Koshi tengsizligining umumlashmasi ushbu
) 32 ( ) ( 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 k k a k a k a a k k k k + + ≤ +
ko’rinish bo’ladi. Agar biz bu yerda
q p a b a a k k k q k k k p 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 , , 1 , 1 = = + = + =
belgilash kiritsak, 1 1 1 . 1 , 1 = + > >
p q p bo’ladi va (32) tengsizlik
) 33 ( q b p a ab q p + ≤ ko’rinish oladi. (33) tengsizlikka Yung tengsizligi deyiladi. (V.YUNG (1882-1946) ingliz matematigi) .
Yuqoridagi belgilashlarga asosan Yung tengsizligida tenglik faqat q p b a = bo’lganda bajariladi.
0 ...,
, 0 , 0 2 1 > > > n a a a va
0 ...,
, 0 , 0 2 1 > > > n b b b ixtiyoriy sonlar bo’lsin. Ushbu
q q n q q n n p p n p p n n q q n q q p p n p p q q n q q p p n p p b b b b y a a a a x b b b b y a a a a x b b b b y a a a a x 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ) ...
( , ) ... ( .. ... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... , ) ... ( , ) ...
( , ) ... ( , ) ...
( + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = + + + =
belgilashlarni kiritamiz. Quyidagi tengsizliklarni bir-biriga qo’shamiz: q y p x y x q y p x y x q y p x y x q n p n n n q p q p + ≤ + ≤ + ≤ ...,
.... ....
... ...
... ...
, , 2 2 2 2 1 1 1 1
natijada ushbu 1 1 1 ) ...
( 1 ) ... ( 1 ... 2 1 2 1 2 2 1 1 = + = + + + + + + + ≤ + + +
p y y y q x x x p y x y x y x q n q q p n p p n n
tengsizlik hosil bo’ladi. Yuqoridagi belgilashlarni hisobga olib, oxirgi tengsizlikni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: ) 34 ( . ) ... ( ) ... ( ... 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 q q n q q p p n p p n n b b b a a a b a b a b a + + + ⋅ + + + ≤ + + + (34) tengsizlikka Gyo’lder tengsizligi deyiladi.( Otto Lyudvig Gyo’lder (1859- 1937) nemis matematigi ).Gyo’lder tengsizligida ).Gyo’lder tengsizligida 2 , 2 = = q p
desak, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi kelib chiqadi. Demak, Gyo’lder tengsizligi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligining umumlashmasi ekan. Gyo’lder tengsizliga asoslanib quyidagi baholashlarni bajaramiz:
) 35 ( } ) ( ... ) ( ) {( } ] ...
[ ] ... {[ ] ) ( ...
) ( ) [( ] ... [ ] ) ( ...
) ( ) [( ] ... [ ] ) ( ...
) ( ) ( [ ] ) ( ....... ... ) ( ) ( [ ) ( ... ) ( ) ( 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 1 1 2 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
p n n p p p p n p p p p n p p q q p n n q p q p p p n p p q q p n n q p q p p p n p p p n n n p p p n n n p p p n n p p b a b a b a b b b a a a b a b a b a b b b b a b a b a a a a b a b b a b b a b b a a b a a b a a b a b a b a + + + + + + × × + + + + + + + = = + + + + + + ⋅ + + + + + + + + + + + ⋅ + + + ≤ ≤ + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + − − − − − − − − − − − − Oxirgi tengsizlikda p q p = − ) 1 ( tenglik ishlatildi. Agar (35) baholashning ikkala tomonini ham
q p n n p p b a b a b a 1 2 2 1 1 } ) ( ... ) ( ) {( + + + + + +
ifodaga bo’lsak va p q 1 1 1 = − tenglikni e’tiborga olsak, ushbu ) 36 ( ] ... [ ] ... [ } ) ( ...
) ( ) {( 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 p p n p p p p n p p q p n n p p b b b a a a b a b a b a + + + + + + + ≤ ≤ + + + + + +
tengsizlik hosil bo’ladi. (36) tengsizlikka Minkovskiy tengsizligi deyiladi. ( German Minkovskiy (1864-1909) nemis matematigi)
YENSEN TENGSIZLIGI Aslida Koshi tengsizligi x x f ln ) ( = funksiya qavariqligining sodda natijasidir. Umumiy holda, ya’ni ) (x f ixtiyoriy qavariq yoki botiq funksiya bo’lgan holda Koshi tangsizligiga o’xshash tengsizliklarni isbot qilish mumkin. Agar ) (x f funksiya uchun ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 x f p x f p x p x p f + ≥ +
tengsizlik ixtiyoriy 1 , 0 , 0 ), , ( , 2 1 2 1 2 1 = + ≥ ≥ ∈
p p p b a x x
sonlarda o’rinli bo’lsa, ) (x f funksiya ) ,
a oraliqda qavariq deyiladi. Agar ) (x f funksiya uchun
) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 x f p x f p x p x p f + ≤ +
tengsizlik ixtiyoriy 1 , 0 , 0 ), , ( , 2 1 2 1 2 1 = + ≥ ≥ ∈
p p p b a x x
sonlarda o’rinli bo’lsa, ) (x f funksiya ) ,
a oraliqda botiq deyiladi. Teorema: a) Agar Download 197.9 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|