Yensen tengsizligi aslida Koshi tengsizligi


Download 124.5 Kb.
bet1/2
Sana30.04.2023
Hajmi124.5 Kb.
#1405998
  1   2

YENSEN TENGSIZLIGI
Aslida Koshi tengsizligi f (x) = ln x funksiya qavariqligining sodda natijasidir. Umumiy holda, ya’ni f (x) ixtiyoriy qavariq yoki botiq funksiya bo’lgan holda Koshi tangsizligiga o’xshash tengsizliklarni isbot qilish mumkin. Agar f (x) funksiya uchun
f (Plx1 + P2x2) > Plf (x1) + P2f(x2)
tengsizlik ixtiyoriy x, x2 e (a, b), pv > 0, p2 > 0, pv + p2 = 1
sonlarda o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya (a,b) oraliqda qavariq deyiladi. Agar
f (x) funksiya uchun
f(Pixi + P2x2) < Pif(xi) + P2f(x2)
tengsizlik ixtiyoriy x1, x2 e (a, b), p1 > 0, p2 > 0, p1 + p2 = 1
sonlarda o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya (a, b) oraliqda botiq deyiladi.
Teorema: a) Agar f"(x) < 0, x e (a,b) bo’lsa ixtiyoriy x,x2,...xn e (a,b) va
P1 + P 2 +... + Pn = 1
tenglikni qanoatlantiruvchi P > 0, P2 > 0,..., Pn > 0 sonlari uchun ushbu

f (Plx1 + P2x2) > Plf (x1) + P2f(x2) 1
f(Pixi + P2x2) < Pif(xi) + P2f(x2) 1
g ’(x x) = f ’(x x) - f ’(х C), g "(x x) = f \ x) < 0 1
5 = д/p (Р - a)(P - b)(P - c) 3
pp з4з 3
pp зЛ 3
a + b + c +-+-+-> 4 p 3
abc 3
abc 3
x x 2 3
x x x2 x2 x2 3

tengsizlik bajarilishini ko’rsatamiz. Buning uchun
g(x) = f(x)- f(c)- f'(c)(x - c)
funknsiyaning (a,b) oraliqda eng katta qiymatini topamiz.
g ’(x x) = f ’(x x) - f ’(х C), g "(x x) = f \ x) < 0
bo’lgani uchun g'(x) kamayuvchi. g'(c) = 0 ekanligidan g'(x) ning ishorasi
x = c nuqtadan o’tishda musbatdan manfiyga o’zgarishi kelib chiqadi. x = c nuqtadan boshqa nuqtada g'(x) nolga aylanmasligidan g (x)
funksiya x = c nuqtada o’zining eng katta qiymatini qabul qilishi kelib chiqadi. Demak, g(x) < g(c) bo’ladi, ya’ni (39) tengsizlik o’rinli bo’ladi.
(39) tengsizlikda tenglik faqat x = c bo’lganda bajariladi. x,x2,...xn e (a,b) ixtiyoriy nuqtalar bo’lsin. Agar c = Px + P2x2 +... + pnxn bo’lsa, c e (a,b) bo’ladi. (39) tengsizlikka ko’ra
Pif(xi) + p2f(x2) +... + Pnf(xn) < pi[f(c) + f'(c)(x - c)] +
+ P2 [ f (c) + fXc)(x - c)] +... +
+ Pn [f(c) + fXc)(x - c)] =
= f(c) + fXc)(Pixi + P2x2 +... + Pnxn - c) =
= f (c) + fX c)(c - c) = f (c) = f (Pi xi + P 2 x2 +... + Pnxn ) ^
^ f(Pixi + P2x2 +... + Pnxn) ^ Pif(xi) + Pf (x2) +... + Pnf(xn) bo’ladi.
Teorema isbot bo’ldi.
mr > 0,m2 > 0,...,mn ^ 0, ( + m2 +... + mn > 0) ixtiyoriy sonlar bo’lsin.
(37) va (38) tengsizliklarda
mm m
i , P 2 = 2 ,..., Pn = n
m
X + m2 +... + mn mX + m2 +... + mn mX + m2 +... + mn
deymiz. U holda (37) va (38) tengsizliklar mos ravishda quyidagi ko’rinish oladi:









mx + m2x2 +... + mnxn

m1 + m2 +... + mn

mx +m x +...+ m x

m +m +...+ m

mif(xi ) + m2f (x2 ) +...+ mnf (xn )
mX + m2 +...+m„

mif (xi ) + m2f(x2 ) +...+ mnf (xn )
m +m +...+ m

(37), (38), (40) va (41) tengsizliklarga YENSEN tengsizliklari deyiladi.


( Iogan Lyudvig Yensen (1859-1925) daniyalik matematik).
YENSEN tengsizliklarida f (x) funksiyani turli xil qilib tanlash hisobiga ajoyib tengsizliklarni olish mumkin. Masalan,
1) f (x) = In x bo’lsa,

f (Plx1 + P2x2) > Plf (x1) + P2f(x2) 1
f(Pixi + P2x2) < Pif(xi) + P2f(x2) 1
g ’(x x) = f ’(x x) - f ’(х C), g "(x x) = f \ x) < 0 1
5 = д/p (Р - a)(P - b)(P - c) 3
pp з4з 3
pp зЛ 3
a + b + c +-+-+-> 4 p 3
abc 3
abc 3
x x 2 3
x x x2 x2 x2 3

n
boladi, bu yerda xT > 0,x2 > 0,...,xn > 0.

  1. f (x) = 4x bo’lsa,



xi + x 2 +... + xn

n

bo’ladi, bu yerda x > 0,x > 0,...,x > 0.



  1. f (x) = xp bo’lsa,

x^ + x^ +... + xn xp + xp +... + xp

f (Plx1 + P2x2) > Plf (x1) + P2f(x2) 1
f(Pixi + P2x2) < Pif(xi) + P2f(x2) 1
g ’(x x) = f ’(x x) - f ’(х C), g "(x x) = f \ x) < 0 1
5 = д/p (Р - a)(P - b)(P - c) 3
pp з4з 3
pp зЛ 3
a + b + c +-+-+-> 4 p 3
abc 3
abc 3
x x 2 3
x x x2 x2 x2 3

nn
bo’ladi, bu yerda x1,x2,...,xn e [[0,^].

  1. f (x) = xex bo’lsa,

xi + x 2 +...+x—
(x1 + x 2 +... + xn) e n — x1ex1 + x 2 ex 2 +... + xnex'
bo’ladi, bu yerda x1 > 0, x2 > 0,..., xn > 0.

  1. f (x) = x2 bo’lsa,

Лmlxi + m2x2 +... + mnxn ^ ^mixi2 + m2x2 +... + mnxn
y m1 + m 2 +... + mn ) m1 + m 2 +... + mn
(mi xi + m2x2 +... + mnxn)2 — (mi x2 + m2x2 +... + mnxn )(mi + m2 +... + mn)
bo’ladi. Bu tengsizlikda
2 2 2 ai a2 an
ml = 01 , m 2 = b2 mn = b„, xi = -1, x 2 = -2,..., xn = -n-
bi b2 bn
desak,
(a^b + ajb^ +... + anbn) — (ai + a^ +... + a« )(b + bz +... + bn )
Koshi-Bunyokovskiy tengsizligi kelib chiqadi.


  1. bo’lsa,
    f (x) = xp, p > 1, x > 0

ppp p
mi xi+ m 2 x2+...+mnxn mixi xp + m 2 x2+...+mnx;;
k mi + m 2 +... + mn ) mi + m 2 +... + mn
(mi xi + m 2 x 2 +... + mnxn)p — (mi xp + m 2 x2 +... + mnxn)(mi + m 2 +... + mn)p-i

p
q = ,
p_i

ai
xi = ^q _i , x2 =
bo’ladi. Bu tengsizlikda
mi =biq,m2 =b2q,...,mn =bnq,


an
bnq
-i
a
—2— x
q_i ,...,xn
b2
desak,
p
(aibi + a2 b2 +... + anbn)p — (ap + a 2p +... + an)(biq + b2q +... + bq) q
ii
aibi + a2b2 + ... + anbn — (aip + a2p + ... + anp ) p (biq + b2q + ... + bnq )q Gyo’ lder tengsizligi kelib chiqadi.
MASALA YECHISH NAMUNALARI.
1-Misol. Perimetri 2p bo’lgan uchburchaklar orasida yuzasi eng katta bo’lgan uchburchakni topish so’ralsin.
Yechish: Buning uchun Geron formulasi va Koshi tengsizligidan foydalanamiz:




5 = д/p (Р - a)(P - b)(P - c)

л (p - a) + (p - b) + (p - c) у

P 2
зТз.


Demak, perimetri 2p bo’lgan ixtiyoriy uchburchakning yuzasi





pp
з4з


dan oshmaydi.

pp
зЛ

ga faqat p - a = p - b = p - c, ya’ni a = b = c



bo’lganda teng bo’ladi. Bu esa, bir xil perimetrli uchburchaklar orasida yuzasi eng katta bo’ladigan teng tomonli uchburchak bo’lishini bildiradi.
2-Misol. Ixtiyoriy uchburchak uchun ushbu
111
a + b + c +-+-+-> 4 p
abc
tengsizlik o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Buning uchun berilgan tengsizlik chap tomonini guruhlab yozib olamiz va Koshi tengsizligini qo’llaymiz:

+11
a7
+11> 2. \a31 + 2Л\b31 + 2. \c31 =
c) v a v b v c
= 2 a + 2b + 2 c = 4 p
Bu yerda tenglik faqat
a3 = —, b3 = —, c3 =— bo’lganda, ya’ni a = b = c = 1 bo’lganda
abc
bajariladi.

3-Misol. y = x + x 4 1—^-, (x > 0) funksiyaning eng kichik qiymatini
x x 2
topamiz. Buning uchun berilgan funksiyani ushbu
2 61 1 1 1 1
y = x + x 4 1 1—у 4—у 4—у ko rinishida yozib olamiz va Koshi
x x x2 x2 x2
tengsizligini qo’ llaymiz:


11
— . —
xx


X. X. X = 7
222 .
xxx


Bu yerda tenglik kichik qiymati 7 ekan.


bo’lganda bajariladi. Demak, berilgan funksiyaning eng


4-Misol. Agar aY > 0,a2 > 0,...,a5 > 0 bo’lsa, ushbu


a a a a a5
1— + 2— + 3— + 4— + 5— > - a2 + a3 a3 + a4 a4 + a5 a5 + a1 a1 + a2 2


tengsizlik bajarilishini isbotlaymiz. a6 = ax, a7 = a2 belgilash kiritib, berilgan


tengsizlikni ushbu

Download 124.5 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling